$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, metode karakteristik persamaan arus lalu lintas dengan data awal riemann

Question

Kami mempertimbangkan persamaan non-konservasi$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$di mana$a$adalah konstanta dan$f(u)=u(1-u)$.

Saya mencoba menyelesaikan persamaan ini dengan metode karakteristik dengan kondisi awal$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Dengan metode karakteristik, saya punya$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, ini berarti persamaan karakteristiknya adalah$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$bersama$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$

Memecahkan persamaan ini, saya mencapai hingga$u(x,t)=ax+ g(t)$di mana$g$adalah beberapa fungsi dari$t$sendiri. Saya tidak tahu bagaimana untuk melangkah lebih jauh.

Saya dapat menyelesaikan ini ketika kami memiliki persamaan$$u_t+(f(u))_x=0$$seperti di sana$u$konstan sepanjang garis karakteristik. Terima kasih sebelumnya atas bantuan apa pun.

Answer 1

Perhatikan bahwa data awal$u(x,0)$terdiri dari diskontinuitas lompat dari$u_l$ke$u_r$, dengan demikian masalah nilai awal ini adalah masalah Riemann . Model arus lalu lintas Lighthill-Witham-Richards (LWR) yang populer dipulihkan ketika$a=0$, dan solusi Riemann yang sesuai dijelaskan dalam posting ini . Mari kita tangani kasus sewenang-wenang$a$, misalnya dengan mengikuti pendekatan yang mirip dengan posting ini . Pengaturan$v = 1 - 2u$menyediakan PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$di mana metode karakteristik menghasilkan$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$dan$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$yang setara dengan solusi yang ditemukan dalam jawaban oleh @Dmoreno. Namun, untuk data awal yang diskontinu, metode karakteristik tidak cukup (hanya valid jika$u$halus). Jadi, kami menggunakan metode yang tepat untuk memecahkan masalah ini dalam arti lemah, lihat posting terkait . Di sini, kami menemukan solusi gelombang kejut$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$jika$v_l > v_r$, dan solusi gelombang penghalusan$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$jika$v_l < v_r$. Seseorang dapat memeriksa bahwa solusi yang sama$u = \frac{1-v}2$diperoleh dengan mengatasi masalah PDE awal secara langsung (tanpa mengubah variabel).

Answer 2

Dari$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$Anda mendapatkan$u - ax = c_1$, dan dari$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$kamu mendapatkan$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Membiarkan$c_2 = f(c_1)$untuk mendapatkan solusi implisit untuk$u$, ditentukan oleh persamaan

$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$

Tugas yang ada sekarang adalah untuk menentukan$f$dari kondisi awal dan akhirnya memecahkan$u$. Bisakah Anda mengambilnya dari sini?