Urutan epimorfisme kelompok residual hingga stabil
Membiarkan $G_1 \to G_2 \to \cdots$menjadi urutan epimorfisme kelompok residual hingga yang dihasilkan secara terbatas. Apakah akhirnya stabil? Artinya, apakah semua kecuali banyak epimorfisme sebenarnya adalah isomorfisme?
Perhatikan bahwa grup hingga residual yang dihasilkan secara terbatas adalah Hopfian, jadi ini tidak termasuk counterexample sederhana masing-masing $G_i$ menjadi kelompok tetap dan setiap epimorfisme menjadi satu tetap pada dirinya sendiri.
Hasil analogi berlaku saat grup bebas residual: ini adalah Proposisi 6.8 di Charpentier Guirardel "Batasi grup sebagai batas grup bebas" . Buktinya hanya menggunakan fakta bahwa kelompok bebas sisa adalah sisa$SL_2(\mathbb{C})$, dan tampaknya dapat disesuaikan dengan kasus di mana masing-masing $G_i$ adalah residu $GL_n(\mathbb{C})$ untuk tetap $n$. Tampaknya tidak mungkin hal ini berlaku untuk kelompok berhingga residaully umum: Teorema Jordan-Schur menyiratkan bahwa untuk kelompok berhingga umum derajat minimal$n$ sedemikian rupa sehingga dapat disematkan ke $GL_n(\mathbb{C})$ bisa sangat besar.
Apakah ada cara lain untuk menyesuaikan buktinya? Apakah ada contoh yang berlawanan?
Jawaban
Jawabannya adalah tidak". Kelompok penyulut lampu (yang disajikan tanpa batas) adalah batas rangkaian kelompok yang hampir bebas dan homomorfisme dugaan (lihat, misalnya, pertanyaan dan jawaban ini di sana ). Semua kelompok yang hampir bebas secara residual terbatas.
Senada dengan jawaban dodd, contoh balasan juga dapat disimpulkan dari kelompok Houghton kedua. $H_2$, yang didefinisikan sebagai kelompok bijections $L^{(0)} \to L^{(0)}$ yang mempertahankan kedekatan dan non-kedekatan untuk semua kecuali pasangan simpul tak berhingga pada garis dua tak hingga $L$. Presentasi dari$H_2$ aku s $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ dimana $t$ sesuai dengan terjemahan unit dan $\sigma_i$ ke permutasi tersebut $(i,i+1)$. Sekarang, potong presentasi dan definisikan$G_n$ melalui $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Dengan menggunakan relasi $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ untuk menghapus generator $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ dan $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, kami menemukan presentasi berikut dari $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Perhatikan dari presentasi ini bahwa $G_n$ terurai sebagai perpanjangan HNN dari $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ yang ternyata isomorfik ke grup simetris $\mathfrak{S}_{n+2}$, di mana huruf stabil berkonjugasi $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ untuk $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Jadi, sebagai perpanjangan HNN dari grup berhingga,$G_n$ harus benar-benar gratis.
Kesimpulannya adalah peta hasil bagi kanonik $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ mendefinisikan urutan epimorfisme antara kelompok yang hampir bebas yang tidak stabil.
Catatan: Dengan mereproduksi argumen di atas hampir kata demi kata dengan kelompok penyulut lampu$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ bukannya grup Houghton $H_2$memberikan kesimpulan yang sama. Alasannya adalah bahwa kelompok-kelompok ini memiliki struktur yang serupa: mereka berbentuk$C \rtimes \mathbb{Z}$ untuk beberapa grup Coxeter yang terbatas secara lokal $C$ dimana $\mathbb{Z}$ bertindak $C$ melalui isometri dari definisi grafik $C$. (Secara longgar, semua grup lain dari formulir ini dapat dipulihkan dari$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ dan $H_2$, jadi tidak ada contoh menarik lainnya ke arah ini.)