Verifikasi diferensiasi di $x=0$
Jadi pernyataan masalah yang saya kerjakan adalah
Tentukan integral tak tentu dari $\exp(-|x|)$ dengan hormat $x$.
Saya telah memberikan jawaban di bawah ini, tetapi saya memiliki beberapa pertanyaan di akhir. Saya rasa akan lebih mudah jika saya menunjukkan pekerjaan saya terlebih dahulu (atau buka paragraf terakhir untuk langsung beralih ke pertanyaan saya).
Jawabanku \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}
saya tambahkan $2$ ke sisi kanan grafik sejak pada $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}
Saya menambahkan grafik untuk memvisualisasikan diskontinuitas yang perlu dihapus. Tegasnya, saya belum selesai di sini karena saya masih perlu menunjukkan bahwa anti-turunannya bisa dibedakan di asalnya. Oleh karena itu saya mencoba menggunakan definisi turunan, yaitu
\ begin {persamaan *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {persamaan *}
tetapi saya tidak begitu yakin apakah ini benar:
Batas Tangan Kiri
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}
Batas Tangan Kanan
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}
dari ini sepertinya menambahkan $2$tidak benar-benar membuat perbedaan dalam bukti diferensiabilitas ini? Saya juga merasa tidak nyaman menggunakan Aturan L'hopital sebagai bukti terbatas, tetapi saya tidak benar-benar memiliki cara lain untuk melanjutkan, jadi itulah yang terbaik yang dapat saya lakukan dalam situasi ini.

Jawaban
Menambahkan $2$banyak membantu dalam perhitungan batas. Ini sangat mempengaruhi batas tangan kiri. Lihatlah pembilangnya$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ Di sini, kiri $F$ penggunaan $C_1$ dan hak $F$ penggunaan $C_2$, jadi pembilang ini tidak mendekat $0$ sama sekali kecuali Anda menambahkan $2$.
Adapun bagaimana menghindari l'Hopital, itu tergantung bagaimana Anda mendefinisikannya $\exp$. Bagaimanapun, Anda dapat mencatat bahwa batas kiri Anda sebenarnya sama dengan turunan sisi kiri$e^x$ di $x=0$(masukkan saja ke dalam definisi turunannya, dan lihat bahwa Anda mendapatkan hal yang sama). Demikian pula, batas sisi kanan sama dengan turunan sisi kanan$-e^{-x}$ di $x=0$. Jadi jika Anda sudah mengetahui apa kedua turunan tersebut, Anda sudah selesai.
Jika Anda tidak menambahkan itu $2$, fungsi Anda bahkan tidak akan berlanjut di $0$, dan karenanya tidak akan dapat dibedakan pada saat itu. Jika Anda tidak mengatakannya$0$, turunan kiri di $0$ akan$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$
Di sebelah kiri adalah antiturunan
$$e^{x}+C_-$$ dan di sebelah kanan
$$-e^{-x}+C_+.$$
Kontinuitas harus dipastikan di titik pertemuan (karena ini antiturunan), dan $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ diperlukan.
Sekarang positif $h$
$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ dan $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$sehingga jika ada batasan di kanan, turunannya ada. Dan itu pasti ada, karena ini adalah turunan kanan dari eksponensial negatif.
$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ adalah peta kontinu karena merupakan komposisi peta kontinu.
Oleh karena itu, Anda tidak perlu memeriksa bahwa turunan dari integral tak tentu ada. Itu ada dengan teorema dasar kalkulus.
Kesetaraan
$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ yang Anda tulis tidak masuk akal.
Integral tak tentu adalah satu, tidak berbeda di sisi kiri dan kanan nol.
Apa yang bisa Anda tulis adalah
$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$
Dan kemudian pisahkan kasusnya $x<0$ dan $x \ge 0$.