A dimostrazione di ciò$(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$per un numero primo$q$sdraiato$p$

Aug 17 2020

Permettere$f : A \to B$essere un morfismo tra anelli commutativi unitari. Possiamo così considerare$B$-moduli come$A$-moduli tramite questa mappa, e$A$-moduli come$B$-moduli tramite tensorizzazione con$- \otimes_A B$.

Non lasciare$M$e$N$essere$A$- e$B$-moduli rispettivamente. Dato un numero primo$q$di$B$e sdraiato su un numero primo$p$in$A$, lo sappiamo$f$scende a una mappa tra le rispettive localizzazioni e quindi una corrispondenza simile a quella sopra vale per i rispettivi moduli.

Voglio mostrarlo$$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$come$B_q$-moduli.

Il mio ragionamento è il seguente: poiché

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

e$N_q$è un$B_q$-module, è un$A_p$-modulo, quindi$N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$e quindi

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

Sembra ok, ma sto usando "l'associatività del prodotto tensoriale rispetto a diversi anelli" senza preoccuparmene molto.

Un controllo di integrità e/o un riferimento sarebbe molto apprezzato.

Risposte

1 Stahl Aug 17 2020 at 10:46

La tua argomentazione funziona! Hai semplicemente applicato il fatto che if$f : A\to B$è un morfismo ad anello,$M$è un diritto$A$-modulo,$N$è un$(A,B)$-bimodulo, e$L$è un sinistro$B$-modulo, quindi$(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(vedi qui ). Chiamiamo questo fatto$(*).$Come sai, se$M$è un$R$-modulo e$S\subseteq R$è un insieme moltiplicativo, quindi$S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$chiama questo fatto$(**).$Quindi il tuo argomento è il seguente calcolo:\begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}