$A$è matrice reale e per alcuni$k\geq 2,A^{k}$è simile a una matrice ortogonale,come dimostrare$A$è anche simile a una matrice ortogonale?

Aug 17 2020

Il mio tentativo.

$A^{k}=POP^{-1}$.Qui$O$è una matrice ortogonale. Voglio trovare una matrice ortogonale$O_{1}$e$O_{1}^{k}=O.$Penso che questo potrebbe essere fatto perché la matrice invertibile ha sempre una "radice quadrata". Ma anche se questo potesse essere fatto e$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Questo non darà ancora alcuna informazione in merito$A$.Quindi come utilizzare le informazioni fornite da qualche forma canonica di$A^{k}$per trovare informazioni su$A$?

Ulteriore tentativo.

Penso che forse dovrei prendere in considerazione questo problema$\mathbb{C}.$Così$O$è una matrice normale complessa speciale. Quindi per il teorema spettrale$O$è diagonalizzabile su$\mathbb{C}$.Questo significa$A^{k}$è diagonalizzabile e il suo modulo di autovalori è 1.So è A.So$A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$È chiaro che M è simile a una matrice ortogonale su$\mathbb{C}.$

Questa dimostrazione è abbastanza strana poiché spesso consideriamo solo$\mathbb{R}$quando si parla di matrice ortogonale e il problema stesso non indica il campo che usiamo.

C'è qualche soluzione migliore?

Risposte

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

Presumo$P$è una matrice a valori reali. (Se lo richiede$\mathbb C$il sotto può essere leggermente modificato per contemplare invece forme hermitiane.)

Considera lo spazio vettoriale delle coordinate dato da$V=\mathbb R^n$e un operatore lineare su questo spazio dato da$T:= P^{-1}AP$. È sufficiente dimostrarlo$T$è simile a una vera matrice ortogonale. Da$T^k$è non singolare, così è$T$.

Insieme a$\langle, \rangle$denotando il prodotto scalare reale standard, definiamo la seguente forma bilineare simmetrica personalizzata . Per$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
È immediato che questa forma è definita positiva. Ulteriore avviso

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Ciò implica$T$è un operatore ortogonale rispetto alla forma bilineare personalizzata.

Ora calcola l'immagine di$T$rispetto a una base ben scelta
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
dove$\mathbf B$è selezionato per essere una base ortonormale rispetto alla forma bilineare personalizzata e$Q$è una matrice. Dal momento che il nostro spazio vettoriale è$V=\mathbb R^n$, notiamo che$\mathbf B$può anche essere interpretato come una matrice invertibile.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$è ortogonale rispetto al prodotto interno standard .

Infine
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

così$T$è simile a una matrice ortogonale

giustificazione dettagliata che$Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$e$v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$e$\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
e con un calcolo praticamente identico$\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
dove l'implicazione segue perché$\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Poiché quanto sopra vale per la selezione di arbitrario$\mathbf x$e$\mathbf y$concludiamo che$Q$è ortogonale rispetto al prodotto interno standard .

note
Quanto sopra fornisce anche una prova del perché$M^k = I$implica che$M$è diagonalizzabile sopra$\mathbb C$, come$I$è solo un caso particolare di una matrice ortogonale reale. Quanto sopra lo dimostra$M$è simile a una matrice ortogonale reale che per teorema spettrale è simile a una matrice diagonale (over$\mathbb C$). La prova standard di questo risultato che vedrai su questo sito utilizza un argomento polinomiale minimo, sebbene il polinomio minimo non sembri applicabile anche alla domanda di OP.