Aggiunta di una fase a qubit: perché è necessario per un gate arbitrario a qubit singolo

Question

Un singolo gate arbitrario di qubit può essere scomposto come:

$$U=e^{i \alpha} R_z(\beta) R_y(\gamma) R_z(\delta)$$

Notiamo che oltre alle tre rotazioni c'è un coefficiente $e^{i \alpha}$. Quello che mi disturba è che questa fase extra$e^{i \alpha}$non dovrebbe davvero importare in quanto aggiungerà solo una fase globale nel calcolo. Quindi, perché di solito è scritto? È perché vogliamo identificare "matematicamente" l'espressione dell'unità unitaria ma in termini di fisica questa fase non verrà mai aggiunta in pratica su un computer quantistico?

Answer 1

Un motivo per cui ne abbiamo bisogno $e^{i \alpha}$ termine:

È giusto che la fase globale $e^{i \alpha}$ non cambierà l'azione del cancello, ma consideriamo questi due cancelli:

$$ U1\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad R_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} e^{-i \frac{\pi}{4}} & 0 \\ 0 & e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix}$$

Lo si vede facilmente $R_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = e^{-i \frac{\pi}{4}} U1\big(\frac{\pi}{2}\big)$. Quindi entrambe le porte differiscono per una fase globale$e^{-i \frac{\pi}{4}}$il che significa che sono uguali quando li applichiamo nei circuiti. Tuttavia, come è stato discusso in questa domanda [1] e in questa risposta [2], le versioni di controllo di queste porte non sono equivalenti tra loro :

$$ CU1\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0 & 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 &i \end{pmatrix} \qquad CR_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0 & 0 &e^{-i \frac{\pi}{4}} &0 \\ 0 & 0 &0 &e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix}$$

Quindi, se stiamo cercando di costruire un circuito applicando una versione di controllo di qualche unitario, la fase globale dell'unità unitaria non dovrebbe essere trascurata. Questo scenario non è raro. Ad esempio, nell'algoritmo QPE (e quindi in HHL), dovremmo stare attenti alla fase globale nell'unità le cui versioni controllate sono utilizzate nell'algoritmo.