Aiuta a comprendere la formula della varianza alternativa
La definizione di varianza con cui mi trovo a mio agio è
$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$
Ma ne ho visto uno che assomiglia a questo e sto lottando per vedere come sono equivalenti.
$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ fonte
Risposte
Il primo elemento che hai elencato è la covarianza di$x_i$e$y_i$. La seconda formula che hai elencato è la varianza di$x+y$(cioè$Var(x+y)$).
Per vedere questo, nota che possiamo scrivere$Cov(X,Y)$come:
\begin{eqnarray*} {Cov(X,Y)} & = & E(XY)-E(X)(EY)\\ & = & \sum x_{i}y_{i}p_{XY}(x_ {i},y_{i})-\somma x_{i}p(x_{i},y_{i})\somma y_{i}p_{XY}(x_{i},y_{i})\ \ & = & p_{XY}(x_{i},y_{i})\left(\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}\right)\\ & = & \sum(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})p_{XY}(x_{i}y_{i}) \end{eqnarray*}
La seconda formula che hai elencato è derivata dalla fonte a cui hai effettuato il collegamento ipertestuale nella sezione Varianza.
Le due formule non sono equivalenti.