Algebra lineare - Dimensione del problema subspaziale

Question

Ho trovato questa domanda da una diapositiva di una lezione sulla sezione di algebra lineare GRE del test in materia di matematica e non sono riuscito a capirlo.

Supponiamo $V$è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita n. Chiama l'insieme di matrici da$V$ in se stesso $M(V)$.
Permettere$T∈ M(V)$. Considera i due sottospazi$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ e $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Quale delle seguenti affermazioni deve essere VERA?

I. Se $V$ ha una base contenente solo autovettori di $T$ poi $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Penso che II debba essere falso, ma non riesco a capire la verità di I o III. Qualsiasi aiuto è apprezzato!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 non è necessariamente vero. Per prendere$n = 2$, e lascia $T(e_1) = e_1$ e $T(e_2) = 2e_2$. Permettere$X$ essere st $X(e_1) = e_1$ e $X(e_2) = e_1 + e_2$. Poi$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, ma $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Poi$TX \neq XT$.

2 è vero. Considera la mappa lineare$f: M(V) \to M(V)$ invio $X$ per $TX - XT$. Allora possiamo scrivere$W = \im(f)$ e $U = \ker(f)$. Quindi per il teorema di nullità di rango,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 non è necessariamente vero. Per prendere$n > 1$ e $T =$l'identità. Poi$U = M(V)$ così $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.