Almeno un sottogruppo ciclico ben definito di $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, per primo $p$.

Aug 17 2020

Considera i numeri interi del modulo

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

L'insieme corrispondente di classi di residui $\{[pq + 1]\}$ formano un gruppo di ordine ciclico $p$ con generatore $[p + 1]$.

Esempio: If $p = 11$ poi $12$ genera un sottogruppo ciclico di ordine $11$ nel $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

Ho una prova diretta di quanto sopra usando la teoria della divisione (rappresentazione) euclidea, ma sarei interessato a vedere altre prove (o collegamenti / riferimenti). Inoltre, il collegamento a wikipedia

$\quad$ Gruppo moltiplicativo di numeri interi modulo $n$

stati

... anche se anche per prime $n$ non è nota alcuna formula generale per trovare i generatori.

Quindi sono anche interessato a qualsiasi progresso parziale compiuto in questo settore, determinando l'ordine degli elementi in ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Risposte

CopyPasteIt Aug 23 2020 at 12:18

Qui 'costruiamo pattern' il gruppo ciclico più grande $K_{2p}$ generato da $[p-1]$ nel $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ per $p \ge 5$.

Il gruppo $K_{2p}$ ha $2p$ elementi.

Impostato $k = p-1$, un numero intero pari.

Definisci un elenco di numeri iniziando da $p-1$ e incrementando di $2p$ rimanendo al di sotto $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Ora aggiungi $p$ a ogni numero per creare un secondo elenco,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

Il $\text{[.]}_{\, p^2}$ residui della serie di numeri in $G_1 \cup G_2$ sono esattamente i file $k$ generatori per $K_{2p}$ avere ordine $2p$.

Continuando, definiremo un altro elenco di numeri iniziando da $p+1$ e incrementando di $2p$
(equivalentemente, aggiungi $2$ a ogni numero in $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Ora aggiungi $p$ a ogni numero per creare un secondo elenco,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

Il $\text{[.]}_{\, p^2}$ residui della serie di numeri in $H_1 \cup H_2$ sono esattamente i file $k$ elementi in $K_{2p}$ avere ordine $p$.

Da $2p - 2k = 2$ ci sono due elementi che restano da tenere in considerazione in $K_{2p}$. Ma questi sono i due elementi$\{[1],[p^2-1]\}$ soddisfacente $x^2 = 1$.


Esempio: per $p = 11$ specificare il sottogruppo appropriato $K_{22}$ di $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

Gli elementi dell'ordine $22$ consiste in

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

Gli elementi dell'ordine $11$ consiste in

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

Gli elementi dell'ordine $2$ consiste in

$\quad [120]$

Gli elementi dell'ordine $1$ consiste in

$\quad [1]$