Analisi complessa calcolo dell'integrale

Aug 21 2020

io=$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$è l'intervallo tra$\omega_1=0$e$\omega_2=1+2\mathrm i$

Come posso calcolare l'integrale sopra? Non ho alcun processo su questa domanda. Mi dispiace per questo.

Risposte

3 Vercassivelaunos Aug 20 2020 at 22:12

Basta applicare la definizione: If$D\subseteq\mathbb C$,$\gamma:[a,b]\to D$è la parametrizzazione di una curva regolare e$f:D\to\mathbb C$, poi

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

Nel tuo caso,$\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$è una parametrizzazione opportuna, e$f(z)=\operatorname{Im}z$. Collegando tutto:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

Penso che tu possa fare il resto da solo.