Applicare due volte la probabilità condizionale

Question

Per la legge della probabilità totale, lo so $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. Applicando la stessa logica, vorrei dire questo$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ Tuttavia, so che questa conclusione non è corretta perché quando si espandono le probabilità, l'LHS non corrisponde all'RHS.

Come potrei espandere correttamente $P(A|B)$ condizionando un altro evento, diciamo $C$?

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$