Applicazione del teorema del cambio di variabile sulla n-ball.

Question

Sia f:$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$essere funzione continua e$z \in \mathbb{R}^n$. Mostralo$$ \int_Bf(\langle x,z \rangle)=\int_Bf(x_n|z|) $$dove$x=(x_1,...,x_n)$e$B=\{x\in \mathbb{R}^n ; |x| \leq 1\}$.

La mia idea è di applicare il teorema del cambio di variabile. Ho provato a trovare una trasformazione ortogonale$h(x)=Qx$tale che$|detDh|=|detQ|=|\pm1|=1$. Ma non sono riuscito a trovare una tale trasformazione. Apprezzerei qualsiasi suggerimento su come trovare questa trasformazione o una nuova idea su come risolvere questo problema.

Answer 1

Nota che se$z=0$, allora l'uguaglianza è banalmente soddisfatta, quindi supponiamo$z\neq 0$. Un modo per specificare una trasformazione ortogonale (o in realtà qualsiasi trasformazione lineare) è specificare cosa fa a una base.

Da$z\neq 0$, il complemento ortogonale$\{z\}^{\perp} = \ker(\langle z, \cdot\rangle)$è un$n-1$sottospazio dimensionale di$\Bbb{R}^n$. Ora scegli una base ortonormale$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}\}$per questo sottospazio e definire$\zeta := \frac{z}{\lVert z \rVert}$. Quindi,$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}, \zeta\}$è una base ortonormale per$\Bbb{R}^n$. Definire$h:\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$essere la trasformazione lineare tale che \begin{align} \begin{cases} h(\xi_i) &= e_i \quad \text{for$i\in \{1,\dots, n-1\}$} \\ h(\zeta) &= e_n \end{cases} \end{align} dove$\{e_1, \dots, e_n\}$è la base ortonormale ordinata standard di$\Bbb{R}^n$. Ora, da allora$h$è una trasformazione lineare che mappa biiettivamente una base ortonormale a una base ortonormale, ne consegue$h$conserva i prodotti scalari, cioè è una trasformazione lineare ortogonale (che significa automaticamente$|\det h| = 1$).

Questa trasformazione ha la proprietà aggiuntiva che$h(z) = h(\lVert z \rVert \zeta) = \lVert z\rVert h(\zeta) = \lVert z\rVert e_n$; cioè mappe$z$al positivo$n^{th}$asse.