Approssimativo $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log(p)?$

Question

Considera la prima funzione di Chebyshev $\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log(p)$ dove la somma corre sui numeri primi minori o uguali a $x$.

Volevo approssimare $\vartheta(x).$

Il mio tentativo è stato $f(x)=\sum_{n \ge 2}^x n^\frac{-1}{n}.$ Supera di circa $2$ a $x=101$ dando un valore di $90.177$ mentre $\vartheta(x)$ dà $88.344.$ Non sono sicuro di come $f(x)$ si comporta come $x$ aumenta.

È $f(x)\sim \vartheta(x)?$

Answer 1

Per $$n^{-1/n} = \exp \biggl(-\frac{\log n}{n}\biggr) = 1 - \frac{\log n}{n} + O\biggl(\frac{(\log n)^2}{n^2}\biggr)$$ noi abbiamo $$f(x) = x - \frac{1}{2}(\log x)^2 + O(1)\,.$$ Così abbiamo $f(x) \sim \vartheta(x) \sim x$.

Ma $f(x)$ rimane molto più vicino a $x$ di $\vartheta(x)$. Da un risultato di Littlewood abbiamo$$\vartheta(x) - x \in \Omega_{\pm}(\sqrt{x}\, \log \log \log x)$$ mentre $x - f(x)$ è di entità molto minore e sempre positivo.