Approssimazione di una trasformata di Fourier

Question

Supponiamo la trasformata di Fourier $\hat{f}(k)$ (con $k \in \mathbb{R}^d$) viene fornito e si intende ottenere alcune informazioni sulla sua controparte spazio-posizione $f(x)$. Quando il calcolo analitico della trasformata di Fourier inversa di$\hat{f}(k)$ non è possibile, si può ancora essere in grado di estrarre informazioni utili specializzandosi in regioni specifiche di $k$spazio; per esempio, in fisica statistica, è spesso consuetudine studiare le proprietà "macroscopiche", ad esempio, delle funzioni di correlazione, esaminando$k\to 0$limite delle loro trasformate di Fourier. Mi sembra che un tale processo sia in qualche modo analogo a guardare la serie di Taylor di una trasformata di Fourier , cioè \ begin {equation} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {equation} Se si tronca questa serie e poi si cerca di eseguire su di essa la trasformazione di Fourier inversa,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ in alcuni casi si potrebbe scoprire che il risultato diverge come $k\to\infty$. Tuttavia, in molte teorie, e specialmente nelle teorie di campo, esiste una soglia superiore per$k$che determina la gamma di validità di quella teoria; un tale taglio spesso risolve la possibile divergenza della trasformata di Fourier inversa.

Domanda La funzione spazio-posizione ottenuta dalla trasformazione inversa della serie di Taylor troncata$\hat{f}_{\rm trunc}$, con qualche interruzione $\Lambda$, approssimare la funzione originale$f(x)$in qualche senso? altrimenti, esiste un modo sistematico per ottenere una forma così approssimativa dalla sua trasformata di Fourier$\hat{f}(k)$?

Answer 1

Quando tronchi l'espansione di Taylor intorno $0$, stai dicendo che sei interessato alle modalità con lunghezze d'onda lunghe. Queste sono spesso le modalità che durano a lungo, quindi per lunghi periodi descriveranno approssimativamente il tuo sistema. Nello spirito, è come fare una grana grossa: ci si dimentica delle dinamiche microscopiche veloci e si conserva solo l'informazione macroscopoica. In un senso più rigoroso, sì$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, quindi se l'approssimazione della tua trasformata di Fourier è buona in $L^2$ senso quindi sarà l'approssimazione dello spazio di posizione $f(x)$.