Base polinomiale globale per il nucleo di un polinomio matriciale

Aug 22 2020

Permettere$M(x)$fagiolo$m$di$n$matrice con voci in$\mathbb{C}[x]$. Supponiamo che per tutti$x\in \mathbb{C}$il rango di$M(x)$è costante e uguale a$r<n$. Pertanto, per qualsiasi$x_0\in \mathbb{C}$possiamo trovare un rango completo$N\in \mathbb{C}^{n,n-r}$tale che$$ M(x_0)N=0. $$Domanda: è possibile trovare un$n$di$n-r$matrice$N(x)$ con voci in$\mathbb{C}[x]$tale che$$ M(x)N(x)=0 $$e$N(x)$è a rango pieno per tutti$x\in \mathbb{C}$? Se sì, esiste un algoritmo costruttivo? Se no, quali sono gli ostacoli? La domanda è interessante per me anche sotto la restrizione che$M(x)$è lineare all'interno$x$.

Ecco un esempio di una matrice per la quale non riesco a trovare un tale$N(x)$($m=4, n=6, r=4$)$$ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 (x+2) & 4 (x-3) & 2 (8-x) & 0 & 0 & 0 \\ -8 & 0 & -4 & 4 (x-3) & 2 (6-x) & 0 \\ \end{array} \right) $$

Risposte

3 JoshuaMundinger Aug 22 2020 at 20:05

Sì, e c'è un algoritmo costruttivo. Mettere$M$nella forma normale di Smith:$ PMQ = D$per invertibile$P$e$Q$e diagonale$D$. Da$M(x_0)$è rango pieno per tutti$x_0$, lo stesso vale per$D$, e quindi$D$è della forma$$ D = \begin{bmatrix} c_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots &0\\ 0 & c_2 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & &\vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_r& 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots & & \vdots\end{bmatrix}$$dove$c_1, \ldots, c_r$sono dentro$\mathbb C$. Quindi, il kernel di$D$è l'intervallo dell'ultimo$n-r$vettori di base standard, e quindi il nucleo di$M$è l'intervallo dell'ultimo$n-r$colonne di$Q$. Da allora queste colonne formano una matrice di rango completo in qualsiasi senso desiderato$Q$è invertibile$\mathbb C[x]$.