Biiezione continua $f: X \to Y$ da uno spazio compatto $X$ in uno spazio di Hausdorff $Y$

Aug 20 2020

Supponiamo $X$ è uno spazio compatto e $Y$ è Hausdorff tale che $f: X \to Y$è una biiezione continua. Quale delle seguenti è vera?

(IO) $f$ è aperto.

(II) $f$ è un omeomorfismo locale.

(III) $f^{-1}$ è continuo.

Alcune osservazioni e domande:

  1. $Y$ è compatto come l'immagine continua di un insieme compatto è sempre compatta.

  2. Da $f$ è continua, la pre-immagine di ogni open set in $Y$ è un open set in $X$. Ma possiamo essere sicuri che ogni open set in$X$ è mappato su un insieme aperto in $Y$ di $f$? Perché o perché no?

  3. L'omeomorfismo locale è un termine nuovo per me. Wikipedia lo dice$f$ è un omeomorfismo locale se ogni punto di $X$ ha un intorno (insieme aperto contenente il punto) che è omeomorfo a un sottoinsieme aperto di $Y$. Non sono sicuro se$f$è localmente omeomorfico o no. Qualche idea?

  4. Per $f^{-1}$ per essere continui abbiamo bisogno che la pre-immagine di ogni open set in $X$ è un open set in $Y$ sotto $f^{-1}$. Questo è in qualche modo correlato al fatto che$f$è una mappa aperta? Beh, credo di sì. Se$f$ è aperto, ogni set aperto $X$ è mappato su un insieme aperto in $Y$. E da allora$f$ è continua, la pre-immagine (immagine sotto $f^{-1}$) di ogni open set in $Y$ è un open set in $X$. Quindi, se$f$ è aperto, apre l'apertura $X$ e $Y$ sarà in biiezione e necessariamente $f^{-1}$sarà continuo. Quindi penso che se (I) è vero, (III) segue immediatamente. È corretto?

Risposte

1 HennoBrandsma Aug 20 2020 at 05:26

Sono vero come $f$è chiuso, come ho mostrato qui , insomma:$C \subseteq X$ chiuso, implica $C$ compatto, così $f[C]$ compatto e un sottoinsieme compatto di uno spazio Hausdorff è chiuso, quindi $f[C]$ è chiuso.

E una biiezione obbedisce $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ cosi quando $O \subseteq X$ è aperto, $ X\setminus O$ è chiuso, quindi la sua immagine è chiusa e così $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ è aperto in $Y$.

Così $f$ è una biiezione continua aperta (e chiusa) e quindi un omeomorfismo (se $g: Y \to X$ è la mappa inversa, $g^{-1}[O]=f[O]$ è aperto in $Y$ per tutti aperti $O$ in $X$. Quindi anche III vale.

II è quindi banale, perché possiamo per ciascuno $x \in X$ prendere $X$ essere un quartiere omeomorfico $Y$ (che è banalmente un quartiere di $f(x)$). Un omeomorfismo è banalmente un omeomorfismo locale.

Quindi tutto deriva abbastanza direttamente dal fatto che abbiamo già anche senza una biiezione ma solo continuità: $f$ è una mappa chiusa.