Bott Tu Esercizio 6.14, integrazione lungo la fibra
Supponiamo $\pi:E\to M$ è un orientato $C^\infty$ fascio di vettore di rango $n$. Indichiamo con$\Omega_{cv}^k(E)$ l'insieme di tutti i differenziali $k$-forme $\omega$ sopra $E$, tale che per ogni compatta $K\subset M$, $\pi^{-1}(K)\cap \text{supp}(\omega)$è compatto. In particolare, il supporto della restrizione$\omega|_F$ad ogni fibra è compatto. Assumere$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$ è una banalizzazione orientata per $E$. Sopra$\pi^{-1}(U_\alpha)$, una tale forma $\omega$ è espresso in modo univoco come somma delle forme di entrambi i tipi $(\pi^*\phi)f(x,t_1,\dots,t_n)dt_{i_1}\cdots dt_{i_r}$ con $r<n$, o $(\pi^*\phi)f(x,t_1,\dots,t_n)dt_1\cdots dt_n$. (Qui$x_1,\dots,x_n$ sono attivate le funzioni di coordinate $U_\alpha$ e $t_1,\dots,t_n$ sono le coordinate della fibra $\pi^{-1}(U_\alpha)$ dato da $\phi_\alpha$. Definiamo una mappa$\Omega_{cv}^*(E)\to \Omega^*(M)$ inviando i moduli del primo tipo a zero e i moduli del secondo tipo a $\phi \int_{\Bbb R^n} f(x,t_1,\dots,t_n)dt_1 \dots dt_n$.
L'esercizio 6.14 chiede di mostrare che questa mappa è ben definita. Supponiamo$U_\alpha \cap U_\beta $non è vuoto. Poi avanti$\pi^{-1}(U_\alpha \cap U_\beta)$, una forma del secondo tipo può essere espressa come $$(\pi^*\phi)f(x,t_1,\dots,t_n)dt_1\cdots dt_n=(\pi^* \tau)g(y,u_1,\dots,u_n) du_1\cdots du_n.$$ Allora devo dimostrarlo $$\phi \int_{\Bbb R^n} f(x,t_1,\dots,t_n)dt=\tau \int_{\Bbb R^n} g(y,u_1,\dots,u_n)du,$$ma mi sono bloccato. Qualche suggerimento?
Risposte
Assumilo $U_a$ e $U_b$ sono relativamente compatti e $\varphi$, $\psi$ le sue classifiche $M$. Da un argomento di linearità, puoi supporlo
$$ \phi = h_1 dx_{i_1} \wedge \cdots dx_{i_k} $$
e lo stesso per $\tau$ con coefficiente $h_2$. Senza perdere di generalità assumere$k = m = \dim M$. Permettere$T$ e $S$ le coordinate per $t$ e $s$ in $\mathbb{R}^n$. Partecipa alle chat adattate$E$ $(U_a \times \mathbb{R}^n,\varphi \times T)$ e $(U_b \times \mathbb{R}^n,\psi \times S)$.
abbiamo $\pi^*\phi = h_1 \circ \pi \pi^*(dx) = h_1dx$in queste coordinate. Così
$$ \pi^* \phi f(x,t)dt = h_1(x)f(x,t)dx\wedge dt $$D'altra parte, usando il cambio di variabili per diff. forme$$ \pi^* \tau gds = (h_2 \circ \psi \circ \varphi^{-1})(g \circ \psi \circ \varphi^{-1}) \cdot Jac(\psi \circ \varphi^{-1}) Jac(S \circ T^{-1}) dx \wedge dt = h_1 fdx\wedge dt $$ Lo deduciamo $$h_1f = (h_2 \circ \psi \circ \varphi^{-1})(g \circ \psi \circ \varphi^{-1}) \cdot Jac(\psi \circ \varphi^{-1}) Jac(S \circ T^{-1})$$
L'ultima espressione può essere integrata in $(U_c = U_a \cap U_b) \times \mathbb{R}^n$ e utilizzando Fubini e il cambio di variabile per gli integrali e le definizioni precedenti $$ \int_{U_c \times \mathbb{R}^n}\phi f(x,t)dx\wedge dt = \int_{U_c \times \mathbb{R}^n}\tau g(y,s)dy \wedge ds. $$ Infine, con un argomento parametrico e utilizzando $U_a$ e $U_b$ essere compatto
$$ \phi \int_{\mathbb{R}^n} f(x,t)dt = \tau \int_{\mathbb{R}^n}g(y,s)ds. $$
Devi essere un po 'più cauto per $k < n$perché il cambio di variabile per le forme differenziali è leggermente diverso. Se ho qualche errore di battitura, correggilo.