Breve sequenza esatta di moduli sull'anello locale artiniano in cui i due termini finali sono privi di torsione

Question

Permettere $(R,\mathfrak m, k)$essere un anello locale artiniano. Quindi per ogni diverso da zero finitamente generato$R$-modulo $M$, noi abbiamo $\mathfrak m\in Ass(M)$ , quindi abbiamo una sequenza esatta $0\to k\to M$ , quindi in particolare, $0\to k\to R$.

La mia domanda è: se $0\to A\to B\to C\to 0$ è una sequenza esatta di finitamente generati $R$-moduli tali che $A,C$ sono senza torsione, allora lo è $B$ anche senza torsione?

Qui, un modulo finitamente generato $M$ si chiama senza torsione se e solo se si incorpora in un modulo libero di rango finito, o equivalentemente, se la mappa canonica $M\to M^{**}$ è injectivte.

Answer 1

Permettere $$R=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]\,/\,(2x,x^2).$$ Poi $R$ è finito, quindi artiniano, e contiene un ideale massimale unico $(2,x)$, così locale.

Considera la sequenza esatta di finitamente generato $R$ moduli:$$ 0\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0, $$ dove $x$ funge da $0$su tutti e tre i moduli. Chiaramente i moduli ad entrambe le estremità sopra sono incorporati$R$, con i generatori dei moduli mappati su $x\in R$.

Se il modulo centrale incorporato in $R^n$ per un numero intero $n$, quindi ogni generatore del modulo centrale verrà mappato su un elemento di $R^n$ con le coordinate che giacciono nell'annientatore di $x$e almeno una coordinata avente un ordine additivo $4$.

Tuttavia nessun elemento di $R$ ha ordine $4$ e giace nell'annientatore di $x$. Concludiamo che il modulo centrale non è privo di torsione.