C'è un nome per questa famiglia di sequenze?
La sequenza ${\displaystyle{M_n:=2^{p_n}-1}}$, dove ${\displaystyle{n\gt0}}$ e ${p_n}$ è il ${\displaystyle{n}^{th}}$numero primo, è comunemente noto come numeri di Mersenne (da non confondere con i numeri primi di Mersenne, che richiedono anche che il numero stesso sia primo). Hanno la proprietà per cui nessun membro di questa sequenza è divisibile${2}$(tutti i numeri di Mersenne sono anche numeri dispari). In generale, le sequenze${\displaystyle{a_{m,n}:=p_m^{p_n}-p_{m-1}\#}}$, dove ${\displaystyle{m,n>0}}$ e ${\displaystyle{p_m\#:=\prod_{i=1}^mp_i}}$ è il ${\displaystyle{m^{th}}}$ numero primoriale, non contiene membri divisibili per il primo ${\displaystyle{m}}$numeri primi. I numeri Mersenne sono un caso speciale in cui${\displaystyle{m=1}}$.
Queste sequenze hanno un nome? Fai qualsiasi proprietà importante dei numeri di Mersenne oltre all'indivisibilità del primo${\displaystyle{m}}$ i numeri primi si generalizzano a queste sequenze correlate?
Risposte
Ampliamo un po 'la famiglia delle sequenze. Permettere$b,c$ essere numeri interi, con $b\gt 1$e considera la sequenza intera per $k = 0,1,2,\ldots$:
$$ s_k = b^k - c $$
Il caso di cui chiedi è quando $b=p$ è primo e $c = (p-1)\#$è un numero primoriale e hai limitato l'attenzione alla sottosequenza degli esponenti primi$k$.
Chiamiamo questi poteri esatti con un offset fisso . Valori negativi e positivi della costante di offset$c$sono consentiti, quindi queste sequenze sono come sottosequenze Fermat numeri e numeri di Mersenne . Alcune sequenze meno conosciute in questa famiglia sono i numeri di Cunningham :
$$ b^n \pm 1 $$
e i cosiddetti numeri primi di Crandall (dopo il brevetto statunitense 5.159.632 di Richard Crandall , anche se esiste una tecnica anteriore di Bender e Castagnoli ):
$$ 2^q - c \;\;\text{ for small odd } c $$
Questi ultimi sono stati studiati per fornire una fornitura più ricca di numeri primi (rispetto alle poche dozzine di numeri primi di Mersenne) da utilizzare come moduli primi di criptosistemi a curva ellittica.
La caratteristica chiave di queste sequenze è che risultano dall'iterazione di un polinomio univariato di primo grado:
$$ s_{k+1} = b s_k + (b-1)c $$
Ciò porta al trattamento mediante dinamiche aritmetiche . Illustrerò alcune delle idee prendendo l'esempio$b=3$ e $c=2$ delle tue costruzioni.