Calcolando il rapporto hastings, g (x | x ') / g (x' | x) per distribuzioni di proposte asimmetriche nell'algoritmo MH?
Capisco l'algoritmo di Metropolis. Dove mi confondo è l'algoritmo MH in cui possono essere utilizzate distribuzioni di proposte asimmetriche.

Capisco che P (x) e P (x ') rappresentano la probabilità / densità di probabilità di x e x' in base alla distribuzione target. Allo stesso modo, capisco che g (x | x ') / g (x' | x) è un termine usato per correggere una distribuzione asimmetrica della proposta. Non sono confuso dal suo scopo; Non capisco la sua esecuzione.
Come problema di giocattoli, ho sviluppato un campionatore di distribuzione esponenziale. Esistono due varianti, una che utilizza una distribuzione proposta simmetrica, la dist. Uniforme. E uno che non lo fa: Vale a dire, Beta(a=3,b=2) - 0.5
. Ho scelto questa distribuzione perché (A) è asimmetrica e per lo più positiva (ma occasionalmente negativa, a causa del termine -0,5).
Non ho idea di come trovarlo g(x|x')/g(x'|x)
.
Codice:
def target(x,lam):
return int(x>0) * lam * np.exp(-x * lam)
def exponential_MH(hops,lam=3):
states = []
burn_in = int(hops*0.2)
current = lam
for i in range(hops):
states.append(current)
# movement = current + random.uniform(-1,1) # does not require asymmetric correction
movement = current + np.random.beta(a=3,b=2)-0.5 # requires asymmetric correction
acceptance = target(x=movement,lam=lam)/target(x=current,lam=lam)
event = random.uniform(0,1)
if acceptance > event:
current = movement
return states[burn_in:]
lam = 1
exp_samples = exponential_MH(hops=10_000,lam=lam)
lines = np.linspace(0,5,10_000)
exp_curve = [lam*np.exp(-l*lam) for l in lines]
plt.hist(exp_samples,normed=1,bins=20)
plt.plot(lines,exp_curve)
Grafico di distribuzione delle proposte asimmetriche:

Grafico di distribuzione simmetrico della proposta (con righe commentate invertite):

Per rispondere a questa domanda, modifica il codice in modo che rifletta un valido g(x|x')/g(x'|x)
per la distribuzione della proposta da Beta(a=3,b=2) - 0.5
cui derivano le perturbazioni.
Risposte
Dai un'occhiata al codice aggiornato e alla trama di seguito. Si noti che g (x | x ') / g (x' | x) è essenzialmente una misura della probabilità che queste perturbazioni siano viste sotto la distribuzione della proposta, che è stata definita come Beta(a=3,b=2) -0.5
.
Innanzitutto, trova la differenza tra gli eventi attuali e quelli proposti. Secondo, regolare per il -0,5; chiameremo queste perturbazioni non distorte (dove -0.5 è un bias.) terzo trovare la probabilità di ogni perturbazione (curr-> prop & prop-> curr). Infine, restituisci il rapporto come correction
.
Useremo questa correzione e la moltiplicheremo con altri termini nella acceptance
definizione della variabile. Questo è praticamente tutto!
def target(x,lam):
return int(x>0) * lam * np.exp(-x * lam)
def correct(prop,curr,a=3,b=2):
x0 = curr - prop + 0.5
x1 = prop - curr + 0.5
b0 = beta.pdf(x=x0, a=a, b=b)
b1 = beta.pdf(x=x1, a=a, b=b)
return b0/b1
def exponential_MH(hops,lam=3):
states = []
burn_in = int(hops*0.2)
current = 1
for i in range(hops):
states.append(current)
movement = current + np.random.beta(a=3,b=2)-0.5 # requires assymetric correction
correction = correct(curr=current,prop=movement)
acceptance = target(x=movement,lam=lam)/target(x=current,lam=lam)*correction
event = random.uniform(0,1)
if acceptance > event:
current = movement
return states[burn_in:]
