Calcolo del funtore derivato per un modulo semplice

Question

Ritenere$M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$come un$R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$modulo. Sto cercando di calcolare cosa$Ext_{R}^n(M,M)$è per tutti$M$. A tal fine, ho lasciato

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

essere una risoluzione libera (e quindi proiettiva). Calcolare$Ext_{R}^n(M,M)$, ora prendo solo i gruppi di omologia di$$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$Da$\text{Hom}(R,M) \cong M$, quanto sopra è solo la catena$$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$in modo che i kernel siano tutti di$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$e le immagini sono giuste$0$affinché$Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$per tutti$n$. È corretto, ho commesso un errore minore o ho fondamentalmente frainteso qualcosa di importante? (O entrambi!)

Answer 1

Hai fatto un piccolo errore: nota che se hai un funtore esatto giusto$F$, e vuoi calcolare$L_*F(X)$, prendi una risoluzione proiettiva$P_*\to X$e poi prendere l'omologia di$F(P_*)$, non l'omologia di$F(P_*\to X)$.

Quindi il tuo piccolo errore è dire che stai cercando i gruppi di omologia di$\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(si noti, tra l'altro, che la prima mappa si identificherebbe con l'identità$\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$, non con$\times 3$, in quanto è il duale della proiezione$\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

Il complesso di catene di cui stai cercando l'omologia ha solo$\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$c'è dentro. Tuttavia, ti dà il risultato che dici.