Calcolo del limite di una funzione simile a Sinc

Question

Calcolare $\displaystyle{\lim_{k\to∞} \int_0^\infty \frac{k\sin(x/k)}{x^{3/2}} dx}$ .

Permettere $f_k = \frac{k\sin(x/k)}{x^{3/2}}$. di L'Hopital,$\displaystyle{\lim_{k\to \infty} f_k(x)} = \frac{1}{x^{3/2}}$, che non è integrabile con Lebesgue $(0, 1]$poiché l'integrale di Riemann improprio diverge all'infinito. Quindi, se posso "spingere il limite nell'integrale", dovrei essere in grado di concludere che il limite diverge all'infinito. Lo sospetto$f_k$ convergono effettivamente a $\frac{1}{x^{3/2}}$ uniformemente $(0, 1]$, poiché il ma ho problemi a provarlo. Sono sulla strada giusta per trovare questo limite?

Answer 1

Nota che $0\le \sin (x)\le x$ per $x\ge 0$. Così,$\lim_{k\to \infty}\frac{k\sin(x/k)}{x^{3/2}}=\frac1{x^{1/2}}$.

A parte, far rispettare la sostituzione $x/k\mapsto x$, lo troviamo

$$\int_0^\infty \frac{k\sin(x/k)}{x^{3/2}}\,dx=\sqrt{k}\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x^{3/2}}\,dx=\sqrt{2\pi k}\to \infty$$