Calcolo del quoziente di SL(2,Z) per il suo sottogruppo commutatore

Aug 22 2020

Finora conosco le matrici$$S=\left( \begin{matrix} 0&-1\\ 1&0 \end{matrix} \right), \quad T=\left( \begin{matrix} 1&1\\ 0&1 \end{matrix} \right) $$generare SL$(2,\mathbb{Z})$.$S^2=(ST)^3=-I$.

Conosco anche le matrici$$X=\left( \begin{matrix} 1&1\\ 1&2 \end{matrix} \right), \quad Y=\left( \begin{matrix} 2&1\\ 1&1 \end{matrix} \right) $$con i loro inversi$X^{-1},Y^{-1}$generare SL$(2,\mathbb{Z})'$, il sottogruppo del commutatore.

Sono interessato a ciò che il quoziente$SL(2,\mathbb{Z})/SL(2,\mathbb{Z})'$è.

In generale, come farei a calcolare il quoziente di due gruppi di matrici? Sto cercando di usare GAP ma ho un sacco di problemi!

Risposte

2 AnginaSeng Aug 22 2020 at 19:28

Hai la presentazione$S^2=(ST)^3=-I$. Ottieni la presentazione di$G/G'$includendo tutte le relazioni$ST=TS$ecc. Quindi la presentazione diventa$S^4=I$,$S^3T^3=S^2$e$ST=TS$. Ciò implica$S=T^{-3}$e$T^{12}=I$. Perciò$G/G'$è ciclico di ordine$12$generato dall'immagine di$T$.