Calcolo di Spivak: Capitolo 3 Problema 24b
24b) Supponiamo che $f$ è una funzione tale che ogni numero $b$ può essere scritto $b = f(a)$ per un numero reale $a$. Dimostra che esiste una funzione$g$ tale che $f \circ g = I$
Penso di capire questa domanda e come risolverla, ma sto lottando per trovare un modo per esprimere la mia soluzione in modo matematicamente rigoroso, in particolare quando $f$non è iniettiva. Ecco la mia idea:
Prima di tutto, se $f$ è iniettiva, quindi è banale.
Permettere $g(x) = a$, dove $x = f(a)$ per ogni $a \in \text{domain}(f)$
Da $f$ è iniettiva, per definizione esiste un solo valore di $a$ che soddisfa $x = f(a)$ per ciascuno $x$, che significa $g$è ben definito. E$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (per definizione di $g$), che dalla supposizione in questione è $\mathbb{R}$. Anche,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, da $f$ e $g$sono iniettivi (ma questo fatto non è importante). Così$f(g(x))$ è definito per tutti $x ∈ \mathbb{R}$. Finalmente,$f(g(x))$ = $f(a)$, dove $x = f(a)$ per $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.
Ma ora se $f$non è iniettabile, diventa più complicato. Se mantengo la mia definizione originale di$g$, essendo "$g(x) = a$, dove $x = f(a)$ per ogni $a \in \text{domain}(f)$", allora non funziona perché $g$non è più una funzione. Perché da allora$f$ non è iniettiva, esistono almeno 2 numeri $z$ e $w$ tale che $z \neq w$ ma $f(z) = f(w)$, il che significa che esiste $x$ tale che: $g(x) = z = w$.
Penso che l'idea sia semplicemente ridefinire $g$ semplicemente "scegliere" entrambi $z$ o $w$e assegnalo a $x$. Ad esempio potrebbe scegliere il più piccolo dei due. L'unica differenza che questo farebbe è adesso$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, invece di $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. Ma poiché questo fatto non era importante prima, la conclusione nella domanda è ancora valida.
Ecco la mia domanda. Come scrivo esplicitamente una definizione di$g$ che "sceglie" il più piccolo di $z$ o $w$? Inoltre, ricorda che esistono almeno 2 numeri ze w. Potrebbero esserci arbitrariamente più numeri tali$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$e così via. E questo è solo uno dei rami arbitrari dei valori comuni$f$potrebbe prendere. Potrebbe esserci un diverso insieme di numeri$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ e così via, che non sono uguali a $f(z)$, eccetera.
Questo sta iniziando a diventare molto complicato. Come posso esprimere$g$ matematicamente?
Risposte
L'errore che hai notato è reale, ben fatto per averlo individuato! Quello che ti viene chiesto di mostrare è fondamentalmente l' assioma di scelta per i numeri reali. È un assioma perché non puoi provare (la versione generale) dagli altri assiomi della teoria degli insiemi, anche se sembra abbastanza sensato.
Quindi hai due opzioni:
- Puoi sorvolare sul fatto che la tua definizione ha questo problema e in pratica dire: "Bene, scegli una qualsiasi delle opzioni, niente di strano da vedere qui".
- Puoi invocare l'assioma della scelta. Dice (direttamente dall'articolo di Wikipedia): Per qualsiasi famiglia indicizzata$(S_i)_{i\in I}$ di insiemi non vuoti (dove $I$ è un insieme di indicizzazione) c'è una famiglia $(x_i)_{i\in I}$ tale che $x_i \in S_i$ per ogni $i\in I$. Lascio a te il compito di capire come arrivare alla richiesta di Spivak. (In realtà, la mia formulazione preferita dell'assioma della scelta è fondamentalmente ciò che devi dimostrare, ma non limitato ai numeri.)
Supponiamo che esista una funzione di scelta esplicita $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.
Permettere $A \subset \mathbb{R}$. Per definizione,$C(A) = r$ per alcuni $r \in \mathbb{R}$.
Nota che se $A \subset \mathbb{R}$, quindi chiaramente: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.
Ora definisci una funzione $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ ricorsivamente come segue:
$A_1(A)$ = $A$
$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$
$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$
ecc ecc.
Formalmente:
$A_1(A)$ = $A$
Se $A = \emptyset$, Poi: $A_n(\emptyset) = \emptyset$
Se $A \neq \emptyset$, Poi: $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$
Fondamentalmente quello che sto facendo è applicare la funzione di scelta $C$ per $A$ per scegliere un numero reale specifico $r_1$ in $A$, quindi definendo $A_2$ essere il set {$A$ mancante $r_1$}, quindi applicare $C$ per $A_2$ per scegliere un numero reale diverso $r_2$ in $A$, quindi definendo $A_3$ essere il set {$A$ mancante ($r_1$ e $r_2$)}, ecc ecc.
Ok ora definisci un'altra funzione $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ utilizzando la funzione di scelta originale $C$ e il nuovo $A_n$ funziona in questo modo:
$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$
Questa funzione $Z$è molto speciale. Ogni elemento$r \in A$ corrisponde a un valore univoco di $Z(r)$. In altre parole,$Z$ è in grado di mappare ogni elemento di un sottoinsieme di numeri reali a un numero naturale univoco $n$.
Sento che Cantor avrà qualcosa da dire su questo ...
Se $f$ è una funzione non iniettiva, $f$ può essere scritto come $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ dove $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ e $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.
Definire $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$
Definire $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$
$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, dove $Z \in \mathbb{N}$ o $Z = \infty$
Ora usando AoC: costruisci un nuovo set $\hat A$ che contiene esattamente una coppia ordinata $(x_{a+ni},f_{ni})$ da ciascuno $A_n$.
Definire $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$
Infine definisci $g(x) = a$, dove $(a,x) \in f_{\text{injective}}$