Calcolo di un integrale a 2 variabili - cambio dell'ordine di integrazione
Devo calcolare questo integrale:
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
Perché non abbiamo imparato a calcolare $\int e^{a}{x} dx$ (perché ha qualcosa con la funzione gamma ecc.) mi fa pensare solo a un'opzione ed è capovolgere il file $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
e quindi $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
Il che mi porta di nuovo a questa funzione gamma .. ($\Gamma$...) e non sappiamo come lavorarci (non nel nostro programma)
Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato!! Grazie!
Risposte
Hai fatto bene a scambiare l'ordine di integrazione.
Si noti che la regione di integrazione si estende da $\sqrt y\le x\le 1$ con $y\in [0,1]$. Questa è la stessa regione della regione$0\le y\le x^2$ con $x\in [0,1]$. Quindi, abbiamo
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
E ora puoi concludere questo.