Cambiare la direzione dell'integrazione
Devo cambiare la direzione dell'integrale:
$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$
Da quello che so, devo prima trovare le forme:
$0.5y^2 = x$ e $\sqrt{3-y^2} =x$
Shape I è una parabola: $y^2 = 2x$
La forma II è un cerchio $x^2 + y^2 = 3$ (raggio di $\sqrt{3}$)
Quindi fondamentalmente disegniamo frecce orizzontali dalla parabola al cerchio mentre teniamo $0 \leq y \leq 1$.
Qualcosa che assomiglia molto a questa immagine:

Dobbiamo disegnare linee verticali, quindi assomiglia a questo, ma abbiamo 3 aree:
- Dove colpiamo la parabola (rossa)
- Dove abbiamo raggiunto il traguardo $y=1$ (verde)
- Dove abbiamo colpito il cerchio (blu)

E quindi la mia risposta finale è:
$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$
Ho ragione finora? Se non lo sono, come lo risolvo? Mi sento bloccato perché non ho idea di come andare avanti ... Apprezzerei il tuo aiuto! Grazie!
Risposte
Quello che hai fatto è corretto. Hai fatto.
Controllo del tuo lavoro, $y=1$ intersecare $0.5y^2=x$ a $x=0.5$. (questo corrisponde alla regione arancione.$0.5y^2=x$ è equivalente a $y=\sqrt{2x}$ quando $y>0$.
Anche, $y=1$ intersecare $\sqrt{3-y^2}=x$ a $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ è equivalente a $y=\sqrt{3-x^2}$ quando $y>0$.
Il limite inferiore è sempre $y=0$.
Puoi anche esprimerlo in modo compatto come
$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$
L'ulteriore valutazione dipende dai dettagli di $f$. Una delle possibili motivazioni per eseguire il cambio di ordine di integrale è che la forma di$f$ è più facile da integrare in un certo ordine.
Nota: a seconda della tua comunità, alcuni lo scrivono come
$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$