Cambiare la direzione dell'integrazione

Aug 17 2020

Devo cambiare la direzione dell'integrale:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Da quello che so, devo prima trovare le forme:

$0.5y^2 = x$ e $\sqrt{3-y^2} =x$

Shape I è una parabola: $y^2 = 2x$
La forma II è un cerchio $x^2 + y^2 = 3$ (raggio di $\sqrt{3}$)

Quindi fondamentalmente disegniamo frecce orizzontali dalla parabola al cerchio mentre teniamo $0 \leq y \leq 1$.

Qualcosa che assomiglia molto a questa immagine:

Dobbiamo disegnare linee verticali, quindi assomiglia a questo, ma abbiamo 3 aree:

  1. Dove colpiamo la parabola (rossa)
  2. Dove abbiamo raggiunto il traguardo $y=1$ (verde)
  3. Dove abbiamo colpito il cerchio (blu)

E quindi la mia risposta finale è:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Ho ragione finora? Se non lo sono, come lo risolvo? Mi sento bloccato perché non ho idea di come andare avanti ... Apprezzerei il tuo aiuto! Grazie!

Risposte

2 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 19:14

Quello che hai fatto è corretto. Hai fatto.

Controllo del tuo lavoro, $y=1$ intersecare $0.5y^2=x$ a $x=0.5$. (questo corrisponde alla regione arancione.$0.5y^2=x$ è equivalente a $y=\sqrt{2x}$ quando $y>0$.

Anche, $y=1$ intersecare $\sqrt{3-y^2}=x$ a $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ è equivalente a $y=\sqrt{3-x^2}$ quando $y>0$.

Il limite inferiore è sempre $y=0$.

Puoi anche esprimerlo in modo compatto come

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

L'ulteriore valutazione dipende dai dettagli di $f$. Una delle possibili motivazioni per eseguire il cambio di ordine di integrale è che la forma di$f$ è più facile da integrare in un certo ordine.

Nota: a seconda della tua comunità, alcuni lo scrivono come

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$