Capendo che se $E\subset Y\subset X$, poi $E$ potrebbe essere aperto rispetto a $Y$ senza essere un sottoinsieme aperto di $X$

Question

Supporre che $X$è uno spazio metrico. Quindi, chiaramente$Y$è anche uno spazio metrico.
lo capisco$E$ può essere aperto rispetto a uno spazio metrico $X'$ senza essere un sottoinsieme di qualche altro spazio metrico $Y'$. Vale a dire, il fatto che un insieme sia "aperto" è relativo, dipende dallo spazio metrico di cui l'insieme è considerato come un sottoinsieme. Per esempio:$(0,1)$ come sottoinsieme di $\mathbb R$ è un insieme aperto, tuttavia come sottoinsieme di $\mathbb R^2$è chiuso! perché in$\mathbb R^2$, è un vettore.

Ora, con riferimento alla sezione 2.29 dell'analisi matematica di Rudin,
Supponiamo$E\subset Y\subset X$, quindi "L'Esempio 2.21 (g) ha mostrato che un insieme può essere aperto rispetto a $Y$ senza essere un sottoinsieme aperto di $X$"Ora questo esempio è lo stesso di quanto detto sopra (es $(0,1)$ visto come sottoinsiemi di $\mathbb R$ e $\mathbb R^2$).

Chiaramente, $\mathbb R$ non è un sottospazio di $\mathbb R^2$, allora come soddisfa questo esempio $E\subset Y\subset X$? Per favore aiuto. Grazie.

Answer 1

Una prima osservazione: $(0,1)\times\{0\}$ non è né chiuso né aperto $\Bbb{R}^2;$ i punti di spigolo mancanti $(0,0)$ e $(1,0)$impedirne la chiusura. Dovresti verificarlo tu stesso!

Ora, per rispondere alla tua domanda, hai ragione. Formalmente,$\Bbb{R}$ non è un sottospazio di $\Bbb{R}^2.$ Tuttavia, ci sono alcuni modi naturali per visualizzare $\Bbb{R}$ come sottospazio di $\Bbb{R}^2:$ vale a dire, $\Bbb{R}\cong\Bbb{R}\times\{0\}\subseteq\Bbb{R}^2$ e $\Bbb{R}\cong\{0\}\times\Bbb{R}\subseteq\Bbb{R}^2.$ Cioè, possiamo vedere i numeri reali come un sottoinsieme di $\Bbb{R}^2$ pensando a $\Bbb{R}$ come il $x$-axis o il $y$-asse! Ci sono infinitamente molti altri modi per farlo, ma questi sono i due candidati "ovvi". Rudin vuole che tu ci pensi$\Bbb{R}$ come sottospazio di $\Bbb{R}^2$ in uno di questi modi per il bene di questo esempio.