Categorie monoidali il cui tensore ha un aggiunto sinistro
C'è un nome per le categorie monoidali $(\mathscr V, \otimes, I)$ tale che $\otimes$ ha un aggiunto sinistro $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? Sono stati studiati da qualche parte? Quali sono alcuni esempi interessanti?
Un paio di osservazioni: quando $I : 1 \to \mathscr V$ ha un aggiunto sinistro, quindi $\mathscr V$è semicartesiano, cioè l'unità è terminale. quando$\otimes$ ha un aggiunto sinistro, che è inoltre la diagonale $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, poi $\mathscr V$ ha prodotti binari.
Scarterò qui la definizione per rendere la struttura più esplicita. Permettere$(\mathscr V, \otimes, I)$ essere una categoria monoidale. $\otimes$ ha un aggiunto a sinistra se abbiamo quanto segue.
- endofunctors $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ e $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- per ogni coppia di morfismi $f : \ell(X) \to Y$ e $g : r(X) \to Z$, un morfismo $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- per ogni morfismo $h : X \to Y \otimes Z$, morfismi $h_\ell : \ell(X) \to Y$ e $h_r : r(X) \to Z$,
tale che, per tutti $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ e $z : Z \to Z'$, noi abbiamo $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Risposte
Solo per ripulire il file $\epsilon$di spazio rimasto dopo la risposta di Qiaochu - possiamo sbarazzarci delle ipotesi extra. scriverò$I$ per l'unità monoidale e $1$ per l'oggetto terminale.
Assumilo $(\ell,r) \dashv \otimes$. Poi gli isomorfismi naturali$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ dare origine, per aggiunta, a mappe $\ell A \to I$ e $r A \to I$, naturale in $A$. Abbiamo anche una mappa delle unità$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, naturale in $A$. Tensorizzando e componendo, otteniamo una mappa$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, naturale in $A$. Cioè, abbiamo un cocone (con vertice$I$) sul funtore di identità per $V$. Ne consegue che nel completamento idempotente$\tilde V$ di $V$, c'è un oggetto terminale (che deve essere un ritiro di $I$).
Ora, il completamento idempotente $\tilde V$ ha di nuovo una struttura monoidale $\tilde \otimes$ con una sinistra aggiunta $(\tilde \ell, \tilde r)$. Quindi la prima parte dell'argomento Eckmann-Hilton di Qiaochu può essere eseguita$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (nella terza espressione, i prodotti esistono banalmente, e nella quarta il prodotto esiste perché $\otimes$conserva i prodotti). Cioè, dobbiamo avere$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Ma$I_{\tilde V}$ è l'immagine di $I_V$ nel $\tilde V$e l'inclusione nel completamento idempotente riflette gli oggetti terminali. Perciò$V$ ha un oggetto terminale e $1_V = I_V$.
Quindi, come osservato nei commenti sopra, la seconda parte dell'argomento Eckmann-Hilton di Qiaochu può essere eseguita in $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (nella seconda espressione, i prodotti esistono banalmente, e nella terza il prodotto esiste perché $\otimes$conserva i prodotti). Cioè, i prodotti binari esistono in$V$ e d'accordo con $\otimes$. In effetti, il funtore di identità è un funtore monoidale oplax da$(V,\otimes)$ per $(V,\times)$, che l'argomento mostra è in realtà un forte monoidale. Così$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ come categorie monoidali.
Se $\otimes : V \times V \to V$ ha una sinistra aggiunta e $V$ ha prodotti finiti quindi $\otimes$ li conserva nel senso che la mappa naturale
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
è un isomorfismo. In una versione monoidale-categorica dell'argomento Eckmann-Hilton mi sembra che ciò implichi questo$\otimes$è il prodotto. Esplicitamente, se lo permettiamo$1_{\times}$ denotano l'oggetto terminale e $1_{\otimes}$ denotiamo l'unità monoidale quindi otteniamo isomorfismi
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
così $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(e questo isomorfismo è unico se esiste, quindi non dobbiamo nemmeno preoccuparci più di tanto della naturalezza). Ora possiamo abbandonare gli scandalosi pedici e fare semplicemente riferimento a$1$. Questo dà un isomorfismo naturale
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
per ogni $X, Y$. In realtà non sono sicuro che questo argomento dimostri che l'associatore e unitore di$\otimes$ corrispondere con l'associatore e l'unitor del prodotto, ma immagino che una versione più elaborata di questo argomento lo faccia.
Non so se sia possibile $V$non ha prodotti finiti. (In precedenza c'era un argomento qui che coinvolgeva la convoluzione del giorno, ma Tim ha sottolineato le lacune nei commenti.)