Che significato dovrei assegnare ad "assegnare"?
Da pochi giorni lavoro con Schema di topologia generale di Schaum di Seymour Lipschutz. Finora ho studiato i primi capitoli sugli insiemi e le funzioni da rivedere e per assicurarmi di conoscere la sua notazione.
La mia domanda è di natura più filosofica e forse ti sembrerebbe "sciocca", ma la pongo lo stesso e mi piacerebbe sentire i tuoi pensieri!
Nel capitolo 2, definisce una funzione in questo modo (piuttosto verbale):
Supponiamo che a ogni elemento di un insieme $A$vi è assegnato un elemento unico di un insieme$B$; la collezione,$f$, di tali assegnazioni è chiamata una funzione da$A$ in $B$ ... (p.17, enfasi aggiunta)
Molto standard credo, ma ciò che ha attirato la mia attenzione è stata la parola assegnare . Cosa significa veramente "assegnare" qualcosa a qualcos'altro? Dove (cioè in che tipo di set) è memorizzato questo compito?
La mia intuizione sull'assegnazione era (ed è ancora) che si tratta semplicemente di una coppia di elementi; cioè un'assegnazione di elementi$a \in A$ per $b \in B$ è semplicemente un sottoinsieme di $A \times B$. Tuttavia, il problema (filosofico) deriva dalla successiva affermazione di Lipschutz:
Ad ogni funzione $f: A \rightarrow B$ci corrisponde la relazione in$A \times B$ dato da $$\{ ( a,f(a) ) \vert a \in A\}.$$ (p.17, enfasi aggiunta)
Così alla funzione corrisponde una relazione, cioè la funzione e la relazione sono viste come oggetti differenti. Il problema viene poi metaforicamente spazzato sotto il tappeto non "distinguendo [ing] tra una funzione e il suo grafico". Lo interpreto in modo un po 'colorato come "sono diversi, ma non dovremmo fare domande al riguardo".
Ricordo quando ho studiato il mio primo corso di algebra, poi una funzione $f: A \rightarrow B$ è stato infatti definito come un caso speciale di una relazione, cioè come un sottoinsieme di $A \times B$. Non ci ho mai pensato molto allora, ma ora vedo che farlo in questo modo evita qualsiasi riferimento a qualche "assegnazione" e sappiamo esattamente in quale set la funzione "vive" -$A \times B$, quindi non dobbiamo pensare a dove è "memorizzato" il "compito". Ma facendo una differenza tra la funzione e la relazione (sebbene esista una mappa tra di loro, che è la mia interpretazione di "corrisponde") sorge (almeno nella mia mente) la questione (filosofica) della natura di questo "incarico" .
Immagino che un altro modo per esprimere ciò a cui sto pensando sia che nella mia mente "l'assegnazione" viene eseguita per mezzo di una mappa, o funzione, tra gli insiemi; ma cosa significa allora definire le funzioni in termini di qualche operazione di "assegnazione"?
Mi scuso in anticipo per aver dedicato del tempo con questo! (Mi sento così stupido a pensare a questo genere di cose invece di lavorare effettivamente con i problemi di topologia ...). Ma mi chiedo se esiste una definizione o nozione di cosa significhi "assegnazione" in questo contesto? O forse è solo un linguaggio a cui non dovremmo pensare di più? O forse c'è qualcosa che mi sono perso, non essendo un madrelingua inglese?
Se hai intuizioni, mi piacerebbe ascoltarle :)
Risposte
Esistono alcuni modi per definire formalmente le funzioni e alcuni modi per pensare all'assegnazione. Ma è nell'interesse di un autore di libri di testo non prendere posizione quando non è rilevante per ciò che intendono fare con le funzioni.
Definizioni
È generalmente accettato che il "grafico" di una funzione $f:A\to B$ è il sottoinsieme di $A\times B$ che potresti scrivere come $\left\{\left(a,f(a)\right)\left|a\in A\right.\right\}$. Ci sono un certo numero di notazioni per questo, ma userò$G(f)$ per il grafico di $f$.
Alcuni testi diranno che una funzione è il suo grafico. Ciò si adatta bene a una discussione sulle relazioni (ad esempio, alcune relazioni sono funzioni e altre no). Ciò significa che non puoi derivare il codominio previsto (il set$B$) in "$f:A\to B$"da una funzione, in modo che il fatto che una funzione sia su / suriettiva non è una proprietà intrinseca della funzione, ma una proprietà della funzione e qualunque obiettivo / codominio sia stato menzionato in un dato contesto, insieme. In pratica, di solito va bene ; ma se vuoi parlare di due funzioni uguali o meno, potresti non voler seguire quella strada.
Altri testi raggrupperanno il dominio e il codominio con il grafico come parte dei dati della funzione. Quindi una funzione$f$ sarebbe qualcosa come la tripla ordinata $\left(A,B,G(f)\right)$. In questo modo la funzione o è suriettiva o non lo è. E le funzioni con codominio differenti sono decisamente oggetti differenti.
Quasi nessun testo lo farà, ma poiché puoi recuperare il dominio dal grafico (il modo esatto in cui lo faresti dipende da come imposti le tue coppie nella teoria degli insiemi), potresti buttare fuori il dominio e dire che una funzione è $(G(f),B)$ o simili.
Incarico
Indipendentemente dal fatto che il dominio e il codominio siano o meno raggruppati con il grafico, "assegnazione" degli output agli input in questo tipo di contesto di solito significa solo che il grafico esiste, come un insieme. Ogni prima coordinata viene "assegnata" alla corrispondente seconda coordinata.
Ma potresti pensare a una regola per calcolare l'output dall'input oa un fatto logico che descrive in modo ordinato l'intero grafico. Se tu / qualcuno sta pensando a questo genere di cose, allora non stai pensando a tutte le funzioni, ma forse qualcosa come " funzioni computabili " o " funzioni costruibili " o " funzioni definibili ".