Classificazione dei collettori lisci compatti di dimensione 3.

Question

Conosco la classificazione dei collettori lisci di dimensione compatta 2. Sono diffeomorfe a una sfera con n "orecchie" (somma connessa di n tori) o una sfera con strisce di m mobius (somma connessa di m piani proiettivi reali). So solo che l'ipotesi geometrica dimostrata da Perelman dice qualcosa su 3 varietà, ma non riesco a trovare una classificazione simile come sopra precisa per varietà compatte lisce di dimensione 2. Esiste una classificazione simile semplice? SE Sì, potresti lasciare un collegamento o scriverlo in un commento?

Answer 1

Una varietà è chiamata primo se ogni volta che è omeomorfo a una somma connessa, uno dei due sommandi è omeomorfo a una sfera.

Nella dimensione due, i collettori primi chiusi sono $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, e $S^1\times S^1$. In base alla classificazione delle superfici, ogni varietà bidimensionale chiusa è omeomorfa a una somma connessa di varietà prime. Nel caso orientabile, gli addendi collegati sono unici fino a$S^2$ summands (puoi sempre collegare sum con $S^2$senza cambiare nulla). Nel caso non orientabile, non abbiamo più unicità come$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ è omeomorfo a $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. Tuttavia, si può recuperare l'unicità (fino a somme sferiche) se si proibisce l'uso di$S^1\times S^1$ summands.

C'è una storia simile per le tre varietà chiuse. Il teorema di decomposizione dei primi per le tre varietà afferma che ogni tre varietà chiusa è omeomorfa a una somma connessa di varietà prime. Se il caso orientabile, gli addendi collegati sono unici fino a$S^3$summands. Se$M$ non è orientabile, quindi l'unicità non vale più, tuttavia si può recuperare l'unicità vietandone l'uso $S^2\times S^1$ come uno dei summands collegati.

La differenza fondamentale tra le dimensioni due e tre è che ci sono infinitamente molte tre varietà prime. Nel caso orientabile, rientrano in tre categorie:

1. quei collettori coperti da $S^3$,
2. il collettore $S^2\times S^1$, e
3. collettori asferici orientabili.

Queste categorie possono anche essere caratterizzate tramite il gruppo fondamentale: vale a dire rispettivamente finito, infinito ciclico e infinito non ciclico.

Nel caso non orientabile, tuttavia, ci sono troppe varietà prime per ammettere una classificazione; vedi la risposta a questa mia domanda .

Nella dimensione quattro, non abbiamo più unicità, anche nel caso orientabile. Per esempio,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ è omeomorfo a $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Nota la somiglianza con il fatto che$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ è omeomorfo a $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.