Come calcolare $\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$

Question

$$\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$$

Il mio pensiero è di usare il limite del numero di eulero, ma penso che il libro "vuole che lo calcoli con il seguente lemma:

Se f è due volte derivata nell'intervallo I, con $a \in I. \forall x \in I, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac 12f''(z)(x-a)^2, z$ è nel mezzo $a$ e $x$. In particolar modo,$\epsilon(x)=\frac12f''(z)(x-a)^2$

Un'altra cosa a cui sto pensando è:

$$x=2y \Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x= \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)^{2y}\\ = \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\exp\left(2y\ln\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)\right)\right)$$

Sto percorrendo la strada sbagliata?

Answer 1

Da $\sin(x)\le x$ per tutti i veri positivi $x$:

$$\sin\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)\le\frac{2}{\lceil{x}\rceil}, $$

dove

$$\frac{2}{x+1}\le \frac{2}{\lceil{x\rceil}}\le\frac{2}{x}.$$ Perciò

$$x\left(\frac{2}{x+1}\right)^x\le x\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)^x\le x\left(\frac{2}{x}\right)^x,$$

e il tuo limite deriva dal teorema di compressione.

Answer 2

$$x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x \leqslant x \left(\frac{1}{2}\right)^x$$