Come dimostrare questa affermazione nella teoria degli insiemi?

Aug 17 2020

Devo dimostrarlo$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$

Durante la dimostrazione, stavo cercando di utilizzare le distribuzioni e di intersecare entrambi i lati dell'equazione di sinistra$\bar{B}$. Funziona per$\Rightarrow$, ma non ne sono sicuro$\Leftarrow$

Sarebbe bello avere almeno 1 suggerimento se la mia mente è sbagliata. Grazie in consiglio

Risposte

2 Miguel Aug 17 2020 at 19:45
  1. Assumere$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$tiene e lascia$x \in C$. Quindi$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$così$x\in A$.

  2. Se$C \subset A$, poi$A\cap C=C$Così$$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$

1 AndreiPlugariu Aug 17 2020 at 19:41

$\Rightarrow$"$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. Perciò$A\cup C=A$, e otteniamo che C è in A. „$\Leftarrow$”. Se$C$è dentro$A$, poi$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$, e tutto fatto.

1 JakeMirra Aug 17 2020 at 19:44

$ \Leftarrow $è ancora più facile. Mostra che se$ x \in LHS $poi$ x \in RHS $e viceversa. Usando il fatto che$ C \subset A $, non ci sono molti casi da considerare.