Come interpretare la definizione di iniettività
Sto leggendo l' analisi di Terence Tao . Nella sezione 3.3, introduce la definizione di iniettività come:
Una funzione f è biunivoca (o iniettiva) se diversi elementi si mappano a diversi elementi:$$x \neq x' \Longrightarrow f(x) \neq f(x') $$Equivalentemente, una funzione è uno a uno se$$ f(x) = f(x') \Longrightarrow x = x'$$
La lingua non è difficile da capire. Quando stavo facendo l'Esercizio 3.3.3, tuttavia, ho scoperto che non è molto rigoroso e interpretazioni diverse per la definizione portano a conclusioni diverse.
Ad esempio, se lo interpretiamo come (Supponiamo che il dominio sia$X$)$$ \forall x \forall x'(x \in X \wedge x' \in X \wedge (x \neq x' \Longrightarrow f(x) \neq f(x')))$$, allora la funzione vuota non è iniettiva poiché$x \in \varnothing$è sempre un'affermazione falsa.
D'altra parte, se lo interpretiamo come$$\forall x \forall x'((x \in X \wedge x' \in X \wedge x \neq x') \Longrightarrow (f(x) \neq f(x'))) $$, o$$ \forall x \forall x'((x \in X \wedge x' \in X) \Longrightarrow( x \neq x' \Rightarrow (f(x) \neq f(x'))) $$, allora la funzione vuota è sempre iniettiva per$$(x \in \varnothing \wedge x' \in \varnothing \wedge x \neq x') \Longrightarrow (f(x) \neq f(x'))$$e$$(x \in \varnothing \wedge x' \in \varnothing) \Longrightarrow( x \neq x' \Rightarrow (f(x) \neq f(x'))$$sono vacuamente vere.
Quale delle interpretazioni è corretta o possono esserci interpretazioni diverse per una definizione?
Risposte
La tua prima interpretazione,$$\forall x\forall x'(x\in X\land x'\in X\land (x\neq x'\to f(x)\neq f(x'))),$$non è corretto.
Quello che stai cercando di fare qui è legare il quantificatore universale, vale a dire,$$(\forall x\in X)(\forall x'\in X)(x\neq x'\to f(x)\neq f(x')),$$Ma un quantificatore universale limitato è definito in questo modo:$$(\forall x\in X)\varphi := \forall x(x\in X\to\varphi).$$
L'interpretazione corretta sarebbe infatti la seconda, cioè$$\forall x\forall x'((x\in X)\to((x'\in X)\to(x\neq x'\to f(x)\neq f(x')))),$$o dopo semplificazioni,$$\forall x\forall x'((x\in X\land x'\in X)\to(x\neq x'\to f(x)\neq f(x'))).$$
Lasciatemi solo aggiungere che, al contrario,$(\exists x\in X)\varphi$è definito come$\exists x(x\in X\land\varphi)$. Ecco perché sei finito con un problema.
Se$f$viene fornito con un dominio$X$, allora l'iniettività dovrebbe essere interpretata (in linea con la tua seconda interpretazione):
$$\forall x,x': \left( x \in X \land x' \in X \land x \neq x' \right) \implies (f(x) \neq f(x')$$
il che infatti rende vacuamente iniettiva qualsiasi funzione su un dominio vuoto. Quello che citi dopo, che ha due implicazioni, è logicamente equivalente, come ha notato anche Greg nei commenti$p \to (q \to r)$è logicamente equivalente a$(p\land q) \to r$.