Come mostrare la disuguaglianza triangolare e che la palla aperta è un ideale compatto?

Aug 19 2020

Su un anello$F_p[[X]]$di serie formali con coefficienti nel campo con$p$elementi abbiamo una metrica$$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$Ho due problemi

  1. Problema con la visualizzazione della disuguaglianza triangolare . Sono riuscito solo a vedere com'è$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$Ho provato ad applicare il logaritmo su entrambi i lati, ma senza effetti. Inoltre non conosco alcuna ragionevole disuguaglianza con i poteri.

  2. Problema nel mostrare quella palla aperta rispetto a questa metrica con il centro dentro$0$e qualsiasi raggio positivo è ideale compatto in$F_p[[X]]$. La nostra palla è in una forma ($r>0$)$K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.

Secondo me dovremmo dimostrarlo

un)$K_{0,r}$è non vuoto e$\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,

b) se$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$poi$\gamma \alpha \in K_{0,r}$,

b) se$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$poi$ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.

Purtroppo non ho idea di come dimostrarlo, per di più come dimostrare che questo ideale è compatto.

Risposte

1 BrianM.Scott Aug 19 2020 at 07:08

Infatti questo è uno spazio ultrametrico : se$g,f,h\in F_p[[X]]$, poi$d$soddisfa la disuguaglianza del triangolo forte (o ultrametrica ) :

$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$

Per distinti$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$permettere

$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$

affinché$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.

Permettere$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$,$g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, e$h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. Chiaramente$(1)$tiene se$f=h$,$h=g$, o$f=g$, quindi supponilo$f,g$, e$h$sono tutti distinti. Permettere$k=\delta(f,h)$e$\ell=\delta(h,g)$, e senza perdita di generalità supponiamo che$k\le\ell$. Quindi$a_n=b_n=c_n$per ciascuno$n<k$, Così$\delta(f,g)\ge k$, e quindi

$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$

come desiderato.

In questa risposta ho dimostrato che una palla aperta in uno spazio ultrametrico è anche un insieme chiuso. (La notazione è presa dal PDF a cui è collegato l'OP ed è un po' strana:$B(x,r^-)$è semplicemente la palla aperta di raggio$r$centrato a$x$.) In questa risposta ho mostrato che le palle aperte centrate all'origine in$\Bbb Q_p$sono compatti; con un po' di lavoro dovresti riuscire ad adattarlo alle palle dentro$F_p[[X]]$.

Per il resto, nota che le palle aperte centrate su$0$hanno tutti la seguente forma:

$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$

Usando questo non è difficile dimostrarlo$fg\in B_k$Ogni volta che$g\in B_k$: Se$g\in B_k$, ha un fattore di$X^k$, e quindi anche così$fg$. Anche verificare che sia chiuso sotto addizione è semplice.