Come posso calcolare correttamente la somma di questa serie?

Question

So già che questa serie di numeri $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+(-2)^{n}} \frac{(-3)^{n}}{n}$ è convergente.

SumConvergence[((-3)^n/(3^n + (-2)^n) 1/n), n](*True*)

Ma il codice seguente non riesce a trovare il suo valore limite, voglio sapere come posso trovare correttamente il valore limite di questa serie?

Limit[Sum[(1/(3^n + (-2)^n))*((-3)^n/n), {n, 1, m}], m -> Infinity]
Needs["NumericalCalculus`"]
NLimit[Sum[(1/(3^n + (-2)^n))*((-3)^n/n), {n, 1, m}], m -> Infinity]

Answer 1

A partire dal

Sum[(-1)^n/((1 + (-q)^n) n), {n, 1, Infinity}]

otteniamo tramite serie geometriche a

-Sum[(-1)^l Log[1 + (-q)^l], {l, 0, Infinity}]

e da lì a

Log[Product[(1 - q^(2 l + 1))/(1 + q^(2 l)), {l, 0, Infinity}]]

che Mathematica calcola come

Log[QPochhammer[q, q^2]/QPochhammer[-1, q^2]]

Quindi imposta q = 2/3.

Andreas

Answer 2

I prodotti possono anche essere espressi in termini di funzioni theta ellittiche come

Log[q/16]/8 + 1/2 Log[EllipticTheta[4, 0, q]/EllipticTheta[2, 0, q]]

Questo conta come espressione chiusa?

---

Il modo più semplice è usare le rappresentazioni del prodotto delle funzioni theta (https://dlmf.nist.gov/20.5):

EllipticTheta[4, 0, q] = Product[(1 - q^(2 k - 1))^2 (1 - q^(2 k)), {k, 1, Infinity}]

e

EllipticTheta[2, 0, q] = 2 q^(1/4) Product[(1 + q^(2 k))^2 (1 - q^(2 k)), {k, 1, 
Infinity}].

Basta inserirli in

Log[q/16]/8 + 1/2 Log[EllipticTheta[4, 0, q]/EllipticTheta[2, 0, q]]

e tu ce l'hai.