Come posso definire questo set?
Permettere $A_1,..., A_n$essere una famiglia di set di set. Voglio creare un set ora come il seguente:
Il set $B$ è costituito da unioni di tutte le possibili combinazioni di elementi di qualsiasi insieme.
Ad esempio: Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ e $A_3 = \{\{4\}\}$. Poi il set$B$ dovrebbe essere:
$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$
La mia domanda è: come posso scrivere formalmente questo set?
Il mio approccio è stato il seguente:
Per prima cosa mettiamo tutti gli elementi che vogliamo combinare nello stesso set: $\bigcup\limits_n A_n$
Quindi prendiamo il suo set di alimentazione: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
In questo power set abbiamo tutte le combinazioni che vogliamo:
Ora possiamo definire $B$ come:
$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$
La mia domanda è: sto complicando troppo? C'è un altro modo per definire questo set?
Risposte
$\bigcup_nA_n$ è la raccolta di tutti i set da cui puoi disegnare elementi, quindi $\bigcup\bigcup_nA_n$ è la raccolta di tutti gli elementi che puoi utilizzare per formare membri di $B$; nel tuo esempio
$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$
e
$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$
Apparentemente vuoi solo i sottoinsiemi non vuoti di $B$, così
$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$