Come può esistere una varietà analitica (complessa)?

Question

Sono confuso su come possano esistere varietà analitiche (complesse). La mia comprensione di una varietà è che tu abbia un Atlante$A$, che è la tua raccolta di grafici a coordinate. Ogni grafico a coordinate è una tupla di un vicinato all'interno della tua topologia e una funzione che mappa quella topologia nello spazio di output. Esistono mappe di transizione tra i grafici delle coordinate nel punto in cui si intersecano, che consentono di passare facilmente da un grafico all'altro attraverso le loro intersezioni.

Tuttavia, mi sembra che se hai due funzioni reali (grafici che hanno domini corrispondenti [quartieri]) che sono "accanto" a vicenda nel tuo collettore, devono "sovrapporsi" per qualche intervallo $(a,b)$, dove $a<b$(cioè non possono semplicemente sovrapporsi in un punto). La funzione di questa sovrapposizione è la mappa di transizione per quei grafici dati.

Tuttavia, a causa dell'esistenza del teorema dell'identità , se vuoi due funzioni$f$ e $g$ per sovrapporsi a qualche inverval $(a,b)$, allora neanche $f$ o $g$deve essere non analitico. Quindi, non capisco come si possa dire che tutti i grafici e le mappe di transizione su una varietà siano sia analitici che fluidi.

Chiaramente questi tipi di varietà possono esistere, quindi sto cercando cosa c'è di sbagliato nella mia comprensione.

Answer 1

Dove le carte si sovrappongono, le mappe cartografiche non sono necessariamente identiche. Se$f: U\to\mathbb C$ e $g:V\to \mathbb C$ sono due grafici con $U\cap V\neq\emptyset$, poi $g\circ f^{-1}$ dovrebbe essere olomorfo $f(U\cap V)$. In sostanza, grafici diversi offrono diversi sistemi di coordinate. Veramente diverso nel senso che due grafici possono darti coordinate diverse nella loro sovrapposizione. Ciò che è importante è che cambiare le coordinate è una mappa fluida (o nel caso complesso, olomorfa). E la mappa che prende le coordinate di un punto secondo il grafico$(U,f)$ e sputa le coordinate dello stesso punto secondo il grafico $(V,g)$ è $g\circ f^{-1}$ ($f^{-1}$ prende le coordinate nel primo grafico e ci fornisce il punto, quindi $g$prende il punto e ci fornisce le coordinate nel secondo grafico). Quindi quella mappa deve essere olomorfa. Ma non ci sono ulteriori restrizioni sulle classifiche. Non hanno bisogno di concordare dove si sovrappongono. È solo che le traduzioni tra i grafici devono essere ragionevolmente piacevoli nel senso che sono olomorfiche. Niente di più, niente di meno.