Come risolvere $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$ senza L'Hopital?

Question

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}-\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}$ ma poiché questo limite è ancora il tipo di $\frac{1}{\infty-\infty}$ Ho provato a farlo:
$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{(n^3+n+1)^2-(n^2-n+2)^3} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{3n^5-7n^4+15n^3-17n^2+14n-7}$

Sono totalmente bloccato qui. Dividerei la frazione per$3n^5$ e poi la soluzione è $0$. Non la risposta corretta. Ho dimenticato qualcosa?

Answer 1

soluzione veloce, come un'altra idea$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+0n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(n+0)^3-0+0n^2+n+1}-\sqrt{(n-\frac12)^2-\frac14+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n-(n-\frac12)}=\\2$$

NOTA: $$n^3+an^2+bn+c=\\(n+\frac a3)^3-(3n^2.\frac a3+3n(\frac a3)^2+(\frac a3)^3)+bn+c\\(n\to \infty) \implies n^3+an^2+bn+c\sim (n+\frac a3)^3 $$ così $$n^3+n+1=(n+0)^3-0^3+n+1$$ anche per $n^2+an+b=(n+\frac a2)^2-(\frac a2)^2+c$

Answer 2

teorema binomiale per esponenti razionali:

(1 + n) ^ (1/3) = 1 + n / 3 + ... (1 + n) ^ (1/2) = 1 + n / 2 + ...

s1 = (n ^ 3 + n - 1) ^ (1/3) = [n ^ 3 (1+ 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/3) = n (1+ 1 / ( 3 n ^ 2) ...) s2 = (n ^ 2 -n + 2) ^ (1/2) = [n ^ 2 (1-1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/2 ) = n (1-1 / (2n) ...) s1-s2 = 1 / (3n) + 1/2 ...

lim 1 / (s1-s2) = 2

n-> infinito

Answer 3

Cerca sempre di semplificare i calcoli algebrici in modo da ridurre lo sforzo di digitazione e il disordine visivo.

Chiaramente possiamo prendere $n$ comune da entrambi i termini nel denominatore e quindi denominatore può essere scritto come $n(a-b) $ dove entrambi $a, b$ tendere a $1$. Inoltre possiamo vederlo$a^3,b^2$ sono privi di radicali e quindi abbiamo $$n(a-b) =n(a-1-(b-1))=n\left((a^3-1)\cdot\frac{a-1}{a^3-1}-(b^2-1)\cdot\frac{b-1}{b^2-1}\right)\tag{1}$$ Basta notare che $$n(a^3-1)=n\left(\frac{1}{n^2}+\frac {1}{n^3}\right)\to 0$$ e $$n(b^2-1)=n\left(-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)\to - 1$$ Ora segue dall'equazione $(1)$ quel denominatore $n(a-b) $ tende a $$0\cdot\frac{1}{3}-(-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ e l'espressione under limit tende quindi a $2$.

Answer 4

Per grandi $n$, $(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}\in 1+\tfrac13n^{-2}+O(n^{-2})\subseteq 1+o(n^{-1})$, così$$\begin{align}\frac{n^{-1}}{(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}-(1-n^{-1}+2n^{-2})^{1/2}}&\in\frac{n^{-1}}{1+o(n^{-1})-1+\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&=\frac{n^{-1}}{\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&\stackrel{n\to\infty}{\sim}2.\end{align}$$