Come sono i vettori affinamente (in) dipendenti in $\mathbb R^n$ disposto nello spazio?

Aug 15 2020

Considera un insieme finito di vettori $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Questo insieme è linearmente indipendente se $\sum_k \alpha_k v_k=0$ implica $\alpha_k=0$. Geometricamente, intendo la dipendenza lineare come l'affermazione che un insieme di vettori è contenuto in un iperpiano passante per l'origine.

D'altra parte, lo diciamo $\{v_i\}_i$sono affinamente dipendenti se$\sum_k \alpha_k v_k=0$ per $\alpha_k$non tutto zero e tale che$\sum_k\alpha_k=0$. C'è un'intuizione geometrica simile per visualizzare quando un insieme$\{v_i\}_i$ è affinamente dipendente / indipendente?

Risposte

2 LeeMosher Aug 15 2020 at 20:33

La tua caratterizzazione della (in) dipendenza lineare non è del tutto corretta. Ogni insieme di vettori è contenuto in una sorta di iperpiano attraverso l'origine, vale a dire la sua estensione.

Invece, direi che un insieme finito di vettori è linearmente dipendente se giacciono in un iperpiano attraverso l'origine la cui dimensione è inferiore al numero di vettori nell'insieme.

E in modo simile, un insieme finito di punti in $\mathbb R^n$è affinamente dipendente se si trova in un iperpiano la cui dimensione è inferiore al numero di punti nell'insieme meno 1 . Pertanto, 3 diversi punti su una linea sono affinamente dipendenti, ma 2 diversi punti su una linea sono affinamente indipendenti.

C'è un'altra bella immagine geometrica di indipendenza affine:

  • una coppia di punti è affinamente indipendente se è l'insieme di punti finali di un segmento di linea (che si verifica se e solo se i due punti in quella coppia sono disuguali)
  • una tripla di punti è affinamente indipendente se è l'insieme dei vertici di un triangolo
  • una quadrupla di punti è affinamente indipendente se è l'insieme dei vertici di un tetraedro
  • un $k$-tupla di punti è affinamente indipendente se è l'insieme dei vertici di a $k-1$simplex dimensionale .
1 JohnHughes Aug 15 2020 at 18:49

Come dice @ runway44, affinamente dipendenti significa "sono tutti in iperpiano", anche se forse un iperpiano che non contiene l'origine. Per vederlo rapidamente, prendi il$k+1$ vettori $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ con $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ e sottrarre $v_0$ da ciascuno di $v_1, \ldots, v_k$ ottenere $w_1, \ldots, w_k$.

Quindi i vettori $w_k$giacciono tutti su un iperpiano parallelo attraverso l'origine. (Vale la pena fare l'algebra per stabilirlo da soli).

O, per dirla in una forma più classica, se prendiamo $v_0$ come origine di un nuovo sistema di coordinate, quindi il restante $v_i$ i vettori giacciono tutti in un iperpiano.