Completamento rispetto all'ideale generato da una parte del sistema regolare di parametri

Aug 21 2020

Permettere$R$essere un$d$locale regolare noetheriano a 3 dimensioni$k$-algbera ($k$qualsiasi campo di char($k$) = 0,$d \geq$2). Permettere$x, y$far parte del sistema regolare di parametri per$R$. Permettere$I = (x, y)$essere un ideale generato da$x$e$y$e$\hat{R}$denotare il completamento di$R$riguardo a$I$.

È vero che$\hat{R} = \frac{R}{I}[[x, y]]$?

So che il caso molto speciale è vero quando$d = 2$e$I$è l'ideale massimale. L'affermazione di cui sopra sembra corretta, ma non ne sono del tutto sicuro. Qualsiasi aiuto sarebbe grande.

Risposte

2 ManojKummini Aug 27 2020 at 22:45

Supponiamo inoltre che$R$è essenzialmente di tipo finito over$k$. Quindi$\hat{R}$contiene un sottoanello che mappa isomorficamente su$R/I$.

Dimostrazione: nota che$R/I$è regolare ed essenzialmente di tipo finito over$k$. Quindi lo è$0$-appiattire$k$(Matsumura, Teoria dell'anello commutativo , Teorema 30.3). Possiamo quindi sollevare la mappa dell'identità di$R/I$ad un$k$-mappa algebrica$f_2 : R/I \to R/I^2$. Ripetendo il ragionamento, otteniamo a$k$-mappa algebrica$f_j : R/I \to R/I^j$sollevamento$f_{j-1}$, per ogni$j \geq 3$. Così otteniamo una mappa$R/I \to \hat{R}$tale che il composito$R/I \to \hat{R} \to R/I = \hat{R}/I\hat{R}$è la mappa di identità di$R/I$.


Risposta precedente, lasciata qui in modo che i commenti sottostanti abbiano un senso.

$\hat{R}$è un appartamento$R$-module (Matsumura, Teoria dell'anello commutativo , Teorema 8.8) ma$\frac{R}{I}[[x,y]]$non lo è, poiché ogni elemento diverso da zero di$I$è un divisore zero su di esso.