Comportamento asintotico di una distribuzione uniforme della miscela
Permettere$X = \{x_1= -\alpha, x_2, \ldots, x_n= \alpha\}$essere un set con$x_{i+1} = x_i + \beta$per alcuni$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
$Y$è una variabile casuale che viene campionata da una distribuzione di miscele come:$$Y ~ \sim \sum_{i=1}^n p_i \mathbb{U}[x_i, x_{i+1}]$$
dove$\mathbb{U}[x_i, x_{i+1}]$denota una variabile casuale uniforme che viene campionata dall'intervallo$[x_i, x_{i+1}]$.
Scegliamo una distribuzione, ad esempio la distribuzione gaussiana, e let$CDF(x)$denotare il valore della funzione di distribuzione cumulativa di questa distribuzione a$x$.
La mia domanda è la seguente: diamo dei pesi$p_i = CDF(x_{i+1}) - CDF ( x_{i})$, ad esempio, la probabilità data alla variabile$\mathbb{U}[x_i, x_{i+1}]$è la densità assegnata dalla distribuzione gaussiana sull'intervallo$[x_i, x_{i+1}]$. Ovviamente, questo è valido quando abbiamo$\alpha \rightarrow \infty$. La distribuzione di Y converge a (anche) una distribuzione gaussiana (più in generale la distribuzione utilizzata nel CDF), quando$\alpha \rightarrow \infty$e$\beta \rightarrow 0$?
Il mio intuito dice di sì, ma non posso provarlo.
Risposte
Questo è vero supponendo che tu sia libero di scegliere$\alpha, \beta$come vuoi. Convergenza nella distribuzione di una sequenza di variabili casuali a valori reali significa i loro cdfs$F_n$soddisfare$\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(x) = F(x)$per ogni punto$x \in \mathbb{R}$al quale$F$è continuo. Possiamo dimostrarlo, per qualsiasi$\varepsilon > 0$, ci sono$A$e$B$tale che per tutti$\alpha > A$,$\beta < B$,$$\sup_{x \in \mathbb{R}} |F_{\alpha,\beta}(x) - F(x)| < \varepsilon.$$Questo è sufficiente per estrarre una sequenza$\alpha_n, \beta_n$.
Questo si è trasformato in un post piuttosto lungo, quindi lasciatemi dire che l'idea è semplice: approssimate la densità con funzioni costanti a tratti, e tutto ciò che conta è che le aree sotto le curve convergano uniformemente.

Lascia allora$\varepsilon > 0$essere dato, e lasciare$\Phi$denotare la cdf di una gaussiana standard. C'è$A > 0$abbastanza grande che$\Phi(-A) < \varepsilon/4$, che per simmetria implica anche$\Phi(A) > 1-\varepsilon/4$. Correggine un po'$\alpha > A$. Abbiamo appena tagliato le code.
Dato$x_i = -\alpha + i\beta$insieme a$n = 2\alpha/\beta \in \mathbb{Z}$, ci sono$n$intervalli$I_i = [x_i,x_{i+1})$quella copertina$[-\alpha, \alpha)$. Supponendo$p_i = \Phi(x_{i+1}) - \Phi(x_i)$, la massa di probabilità totale allocata è$1 - 2\Phi(-\alpha)$; la massa rimanente può essere assegnata ovunque al di fuori di$[-\alpha,\alpha)$; dire che è assegnato a$x > \alpha$. Ignorerò qualsiasi tecnicismo con il giusto punto finale (ha probabilità 0).
Definire una mappa "localizzatore".$\ell : [-\alpha, \alpha) \rightarrow \{0, ..., n-1\}$che si associa a qualsiasi$x$l'indice univoco$i$dell'estremo sinistro dell'intervallo$I_i$(quindi in particolare$\ell(x_i) = i)$. Ricordando che la densità del$i^{th}$variabile casuale uniforme è$(1/\beta)1_{I_i}$, il cdf$F_{\alpha, \beta}$soddisfa$$F_{\alpha, \beta}(x) = p_{\ell(x)}\frac{x - x_{\ell(x)}}{\beta} + F_{\alpha,\beta}(x_{\ell(x)}),$$e nota che il cdf approssimativo concorda con$\Phi$nei punti di discretizzazione$x_i$fino a un turno di$\Phi(-\alpha)$:$$F_{\alpha,\beta}(x_i) = \sum_{i'=1, ..., i-1} p_{i'} = \sum_{i' = 1,...,i-1} (\Phi(x_{i'+1}) - \Phi(x_{i'})) = \Phi(x_{i}) - \Phi(-\alpha).$$Quindi, per qualsiasi$x \in [-\alpha, \alpha)$,\begin{align*} F_{\alpha,\beta}(x) - \Phi(x) &= p_{\ell(x)}(x - x_{\ell(x)})/\beta + F_{\alpha,\beta}(x_{\ell(x)}) - \Phi(x) \\ &= p_{\ell(x)}(x - x_{\ell(x)})/\beta + \Phi(x_{\ell(x)}) - \Phi(-\alpha) - [\Phi(x) - \Phi(x_{\ell(x)}) + \Phi(x_{\ell(x)})]\\ &= [p_{\ell(x)}(x - x_{\ell(x)})/\beta - (\Phi(x) - \Phi(x_{\ell(x)}))] - \Phi(-\alpha).\tag{1} \end{align*}Il termine a sinistra tra parentesi nell'ultima uguaglianza sopra è$$(\Phi(x_{\ell(x)+1}) - \Phi(x_{\ell(x)}))(x - x_{\ell(x)})/\beta - (\Phi(x) - \Phi(x_{\ell(x)})),$$che, se strizzi gli occhi, è il teorema fondamentale del calcolo:$$\Phi'(a)(x-a) \approx \frac{\Phi(b) - \Phi(a)}{\beta}(x - a) \approx (\Phi(x) - \Phi(a)).$$Lascio al lettore giustificarsi usando la compattezza di$[-\alpha,\alpha]$e differenziabilità di$\Phi$Su$(-\alpha,\alpha)$che si può trovare$B > 0$tale che qualsiasi$\beta < B$rende il termine tra parentesi piccolo quanto desiderato, minore di$\varepsilon/2$.
Tornando a$(1)$, troviamo che per$\alpha > A$e$\beta < B$e$x \in [-\alpha, \alpha)$, noi abbiamo$$|F_{\alpha,\beta}(x) - \Phi(x)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/4.$$Per il restante$x$, abbiamo perso al massimo$2\Phi(-\alpha)$massa, che è delimitata da$\varepsilon/2$. Così,$$\sup_{x \in \mathbb{R}} |F_{\alpha,\beta}(x) - \Phi(x)| < \varepsilon,$$che stabilisce la convergenza desiderata.