Comprensione concettuale del problema del calcolo in cui l'acqua viene versata in una lattina cilindrica

Aug 24 2020

Quindi, sto risolvendo il seguente problema che ho trovato qui , e ha la soluzione nella pagina, quindi sono più interessato a risolvere il mio modo di comprendere il problema.

L'acqua viene versata in una lattina cilindrica alta 20 pollici e con un raggio di 8 pollici. L'acqua viene versata a una velocità di 3 pollici cubi al secondo. Quanto velocemente cambia l'altezza dell'acqua nel barattolo quando l'altezza è profonda 8 piedi?

Ho i seguenti dati:

  • Variazione del volume $ \frac{dV}{dt} = 3 $ pollici cubi / s
  • h = 20 pollici
  • r = 8 pollici
  • voglio trovare $ \frac{dh}{dt} $

Data la formula per il volume di un cilindro: $ V = \pi r^2 h $.

E questo è stato il mio processo mentale: mentre versiamo acqua, e quindi cambiamo il volume del cilindro d'acqua, l'altezza del cilindro d'acqua cambia ed è quello che sto cercando.

Nella formula del cilindro, $ \pi $ e $ r $ sono costanti quindi la derivata è:

$ \frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt} $

Perciò:

$ \frac{\frac{dV}{dt}}{\pi r^2} = \frac{dh}{dt} $

Sostituendo i valori che conosciamo:

$$ \frac{3}{\pi 8^2} = \frac{dh}{dt} \\ 0.015 = \frac{dh}{dt} $$

Quindi la mia risposta sembra essere la velocità di variazione dell'altezza dell'acqua ed è costante. Ma in base alla risposta nella pagina. Non mi sembra giusto in quanto non ho una variabile di "altezza" per collegare gli 8 piedi di profondità e nella soluzione collegano il raggio con l'altezza che non ha senso per me come il raggio non lo fa ' t cambiare. Cosa c'è di sbagliato nella mia linea di pensiero?

Risposte

2 Penguino Aug 24 2020 at 05:39

Il tuo calcolo è corretto e anche il tuo metodo per ottenerlo è corretto. La "risposta" sul sito web è strana, confusa e totalmente sbagliata.

In realtà, anche la domanda sul sito web è sbagliata, perché chiedono il tasso di variazione quando la profondità dell'acqua è "8 piedi di profondità" (presumibilmente significano 8 pollici di profondità, poiché 8 piedi sarebbero 76 pollici sopra la parte superiore del 20 pollici cilindro profondo). Proverei un altro sito web.