Comprensione dell'enunciato e della dimostrazione del teorema di Bertini in Griffiths e Harris

Question

Ho difficoltà a comprendere l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Bertini nel libro di Griffiths & Harris (p.$137$). Francamente, non capisco una parola anche dopo aver letto diverse risposte in pila. Il teorema è

L'elemento generico di un sistema lineare è liscio lontano dal luogo di base del sistema.

Prima domanda . L'affermazione sopra si riferisce a fasci lineari di linee generali piuttosto che solo a fasci di linee associati a divisori?

Per quanto posso dire, si riferisce a un sistema lineare di un fascio di linee associato a un divisore. Dimmi se sbaglio.

Seconda domanda . Qual è l'elemento generico? O qual è la matita generica?

Nella dimostrazione gli autori iniziano con " Se l'elemento generico di un sistema lineare è singolare lontano dal luogo base del sistema, allora lo stesso sarà vero per una generica matita contenuta nel sistema; basta quindi dimostrare Bertini per una matita. "

Terza domanda . Cosa significa esattamente la frase sopra?

Supponiamo ora$\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$è una matita

Quarta domanda . Perché gli autori scrivono$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Cosa fare$f,g$intendi qui?

L'ultima questione riguarda il grado di una varietà (p.$171$).

Bertini applicato al luogo liscio di$V$il generico$(n-k)$-aereo$\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$si intersecherà$V$trasversalmente e così si incontreranno$V$esattamente$\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$punti.

Ultima domanda . Cosa è generico$(n-k)$-aereo? In questo caso, perché si interseca$V$trasversalmente?

Answer 1

1. Nella tua impostazione (una varietà complessa) tutti i fasci di linee provengono da divisori e viceversa.

2. Un elemento generico di un sistema lineare significa che nel$\mathbb P^r$parametrizzando i membri di quel sistema lineare, consideriamo un sottoinsieme aperto denso di$\mathbb P^r$. Gli elementi generici sono quelli parametrizzati da un punto in quel denso aperto. Una matita generica similmente parametrizzata da un punto in un denso aperto del Grassmanniano$G(2,r+1)$di$2$sottospazi dimensionali di$H^0(L)$(dove$L$è il fascio di linee).

3. La frase dice che qualsiasi comportamento "cattivo" si verificherà in una matita, quindi non dobbiamo preoccuparci dei sistemi lineari di dimensione superiore.

4. Intendono$f,g \in H^0(L)$, quindi prendendo combinazioni lineari di$f$e$g$restituisce una matita.

5. Un piano generico è parametrizzato da un denso sottoinsieme aperto dell'appropriato Grassmanniano. La trasversalità è perché la trasversalità è una condizione aperta.