Comprensione della probabilità di misura nell'algoritmo quantistico di Deutsch-Jozsa

Question

Sto cercando di capire lo sviluppo matematico del mio insegnante.

Giusto per darti un po' di contesto,$\vec{c}$è un vettore booleano e questa è la probabilità di misurazione$\vec{c} = (c_1,...c_n)$. Quando l'insegnante sta riassumendo$b_1,...,b_n$, sta sommando tutti i vettori booleani (cioè la prima iterazione della somma è when$(b_1,...,b_n) = (0,...,0)$e l'ultima iterazione della somma è quando$(b_1,...,b_n) = (1,...,1)$)

Non capisco come l'insegnante arrivi dalla riga 2 alla riga 3. Come fa a sbarazzarsi della somma? Ho provato a scrivere la somma (termine per termine), ma non ottengo la stessa cosa che fa lui. Potresti aiutarmi là fuori, per favore?

Per chi è interessato a sapere cosa rappresenta, questa è la probabilità di misura nell'algoritmo quantistico di Deutsch-Jozsa quando la funzione è costante (visto che le mie domande riguardano l'algebra, non credo sia utile per me specificare la dettagli dell'algoritmo per aiutarmi).

Answer 1

Andiamo da (3) a (2). Il prodotto in (3) ha la forma$$(x_{1,0}+x_{1,1})(x_{2,0}+x_{2,0})\cdots(x_{n,0}+x_{n,1}).\tag{*}$$Qui$x_{i,0}=(-1)^{c_i0}$e$x_{i,0}=(-1)^{c_i1}$.

Espandendo (*) dà$2^n$termini, uno tipico è$$x_{1,b_1}x_{2,b_2}\cdots x_{n,b_n}$$dove ciascuno$b_i$è scelto dal set$\{0,1\}$. Nel tuo caso, ciò fornisce la somma in (2).

In generale abbiamo$$\prod_{i=1}^n(x_{i,0}+x_{i,1})=\sum_{b_1=0}^1\sum_{b_2=0}^1\cdots\sum_{b_n=0}^1 \prod_{i=1}^n x_{i,b_i}.$$