Comprensione intuitiva di come le linee parallele si incontrano nella geometria proiettiva
Sto guardando una conferenza sulla topologia, in cui è menzionato che in Projective Geometry Parallel Lines Meet . Mi interessa un'idea intuitiva di come sia possibile. Nella geometria proiettiva supponiamo che all'infinito le rette parallele si incontrino proprio come supponiamo che qualsiasi sequenza divergente all'infinito sia la stessa all'infinito?
Risposte
Poiché hai chiesto un'idea intuitiva di come sia possibile che le linee parallele si incontrino, considera l'osservazione comune che i binari ferroviari (che sono paralleli) si incontrano all'orizzonte. Sai, naturalmente, che la terra non è un aereo e che un potente telescopio mostrerebbe che non si incontrano davvero. Ma fingi che la terra sia un piano infinito piatto. Le tracce si incontrano all'orizzonte o no?
Nella geometria proiettiva le trasformazioni consentite sono chiamate trasformazioni proiettive . Sono biiezioni dell'aereo che mappano le linee alle linee. Quattro punti non collineari che mappano ad altri quattro punti non collineari determinano in modo univoco una trasformazione proiettiva. Se giochi con le trasformazioni proiettive vedrai che sembrano cambiamenti di prospettiva.
Tornando ai binari della ferrovia su un piano infinito, si consideri la prospettiva A, che li guarda dall'alto, e la prospettiva B, che li vede convergere all'orizzonte (linea $h$). C'è una trasformazione proiettiva$T$ che porta la prospettiva A alla prospettiva B. Ma considera $T^{-1}$, che richiede $B$ per $A$. Dato che le righe vanno in righe, cos'è$T^{-1}(h)$? Poiché l'orizzonte è "all'infinito",$T^{-1}(h)$non può essere una linea finita. È la "linea all'infinito"$l_{\infty}$, che è una linea composta da "punti all'infinito", che a loro volta possono essere pensati come direzioni (supponiamo di avere due ferrovie che vanno in direzioni diverse. Si incontreranno in punti diversi dell'orizzonte). Inoltre,$T(l_{\infty})=h$, così $T$ è il modo di vedere $l_{\infty}$ come una linea visibile.
Aggiunta della linea $l_{\infty}$ all'aereo è un po 'come aggiungere $i=\sqrt{-1}$ per $\mathbb R$per ottenere i numeri complessi. In entrambi i casi aggiungiamo qualcosa che ci colpisce in un immaginario e intangibile, ma in cambio otteniamo un quadro matematico più coerente e completo.
Quindi sì, nella geometria proiettiva i binari ferroviari (visti dall'alto come linee parallele) si incontrano in un punto $l_{\infty}$. Ed è per questo che nella geometria proiettiva non esiste il concetto di "parallelo".
Risposta alla domanda in un commento (Ma intrinsecamente o nella realtà le linee sono ancora parallele, giusto?): La mentalità della geometria proiettiva è che sono solo linee e punti. Non ci sono informazioni metriche come distanza e angolo. D'altra parte, tendiamo a usare il piano euclideo come modello di partenza per aiutarci a visualizzare le cose. È utile, ma dobbiamo abbandonare le nostre nozioni metriche e l'affermazione "le rette parallele non si incontrano mai" non è più vera perché è stata sostituita dall'assioma "due rette si incontrano in un punto". Quindi l'aereo euclideo è una specie di ruote di addestramento per immaginare cosa sta succedendo. L'analogia con i numeri immaginari è qui solo suggestiva, perché "i" espande R in C, ma con la geometria proiettiva "rette parallele non si incontrano" è sostituito con "due rette distinte si incontrano". Puoi andare dall'altra parte e iniziare con il piano proiettivo e modificando le cose ottenere il piano euclideo. L'assioma parallelo è anche sostituito nella geometria iperbolica ma in un modo diverso, e persone come Gauss notoriamente si chiedevano se l'assioma parallelo fosse "vero nella realtà" (come, nel mondo reale) ma tenne per sé i suoi pensieri perché erano troppo controversi . E nella geometria sferica due linee (definite grandi cerchi) si incontrano sempre.
Ma, alla tua domanda, se vuoi giocare secondo le regole del gioco, non dici che due linee sono parallele, dici che si incontrano a $l_{\infty}$. E non c'è niente di speciale$l_{\infty}$. Infatti se hai un teorema sulle rette parallele puoi ottenere spesso un nuovo teorema gratuitamente applicando una trasformazione proiettiva e sostituire "rette parallele" con "rette che si incontrano su una particolare retta (come$h$Puoi ancora insistere sul fatto che le linee sono parallele, ma a quel punto stai uscendo dai limiti e dici qualcosa su un modello specifico di geometria proiettiva.
nella geometria proiettiva, le linee parallele si incontrano
È un'affermazione ossimorica.
È più accurato da dire
nella geometria proiettiva, non esistono due linee distinte parallele
Il modo in cui è nata l'affermazione ossimorica è in questo modo: da qualsiasi piano affine (come il piano euclideo, dove una singola linea aveva innumerevoli compatrioti paralleli) puoi aggiungere punti, che formano una nuova linea, ed estendere le relazioni di incidenza per creare un piano proiettivo contenente quel piano affine.
Per ogni classe di equivalenza, dichiari un nuovo punto, chiamato punto ideale, corrispondente a quella classe. Tutte le linee della classe sono "estese" di un punto e condividono il punto in comune.