Compromesso tra ipervolume e diametro di $d$-forme tridimensionali aventi un riquadro di delimitazione ipercubico più piccolo

Question

Dato qualsiasi $d$-forma dimensionale $X$, permettere $V(X)$ essere suo $d$-dimensional volume, e lascia $\ell(X)$ essere la lunghezza del segmento di linea più lungo che collega due punti di $X$.

Permettere $\mathcal{S}_C$ essere l'insieme di tutti $d$-forme dimensionali tali che il loro riquadro di delimitazione minimo sia un $d$-dimensionale cubo $C$. Mi interessa quantificare il compromesso tra$\frac{V(X)}{V(C)}$ e $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ al di sopra di $X\in\mathcal{S}_C$ (informalmente, quanto $\frac{V(X)}{V(C)}$ può essere grande mentre $\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$ è piccolo).

Domanda: possiamo provarlo per$d\gg 1$ e per tutti $X\in\mathcal{S}_C$ esiste una costante $c$ tale che la seguente disuguaglianza vale sempre? $$\left(\frac{V(X)}{V(C)}\right)^{\tfrac1d}\le c\cdot\frac{\ell(X)}{\ell(C)}$$

Answer 1

Questo è un po 'troppo lungo per la casella dei commenti, quindi lo sto postando come risposta.

Lo scenario peggiore è quando $X$ è l'intersezione di una sfera di raggio $r\ge 1$ con il cubo $C=[-1,1]^d$. Anzi, se prendiamo il corpo differenza$\frac{X-X}{2}$ di qualsiasi corpo $X$ contenuto nel cubo e di diametro $\ell=2r$, otterremo un corpo contenuto nel cubo e anche nella sfera di raggio $r$e il volume non diminuirà di Brunn-Minkowski. Inoltre, poiché qualsiasi corpo di questo tipo contiene la palla unitaria, il cubo standard è, in effetti, la scatola minima per esso. Da$\frac{\sqrt n}r X\supset C$, vediamo che per quel corpo vale sempre la disuguaglianza inversa.

Sarebbe bello trovare un'approssimazione decente per il volume di quell'incrocio per vedere cosa succede nel regime quando $r/\sqrt d$ rimane fisso e $d\to\infty$, dì.