Concentrazione della Norma per Sub-gaussiani

Question

Sto leggendo il Teorema 3.1.1 nel libro HDP di Vershynin. Il teorema lo afferma

$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$

Il $\psi_2$ norma è la norma di Orlicz con funzione di Orlicz $\psi(x)=e^{x^2}-1. $

Ho trovato un posto che non capisco nella dimostrazione.

L'intera prova lo ha dimostrato $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $è una variabile casuale sub-gaussiana. E nell'ultima frase, l'autore ha appena detto che è equivalente alla conclusione del teorema.

Vorrei chiedere l'equivalenza nell'ultima frase.

Ho provato a esaminare la proprietà di centratura del sub-gaussiano, ma sembra che $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Qualsiasi suggerimento o idea è apprezzato.

Answer 1

Ho seguito il corso HDP su cui era basato questo libro e penso che anche questi risultati mi abbiano richiesto un po 'di tempo! C'è un po 'di ragionamento di "sensazione circolare" che devi fare che non è (almeno per me) immediatamente ovvio. In breve, ci sono due cose in gioco:

1. Primo, dalla prova abbiamo la disuguaglianza di concentrazione $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ che vale per tutti $t \geq 0$. Come hai detto, questo implica che il termine di valore assoluto sia sub-gaussiano con parametro$K^2$. Dalla Proposizione 2.5.2 sappiamo che esiste un equivalente (fino a un fattore costante)$K_1=c_1K^2$ tale che $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
2. Dalla definizione della norma Orlicz, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$che specifica la norma come l' estremo inferiore o positivo minima$t$ con $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. Da ciò, concludiamo che la norma non deve essere superiore a$K_1$. Ci siamo relazionati$K_1$ per $K^2$ sopra e il risultato segue.