condizione su numeri complessi per formare quadrilatero ciclico.
Considera i numeri complessi $z,z^2,z^3,z^4$in quell'ordine che forma un quadrilatero ciclico. Se$\arg z=\alpha$ e $\alpha$ si trova in $[0,2\pi]$Trova i valori $\alpha$ potere prendere.
Ho riscontrato questa domanda in un esame competitivo. Ho provato a utilizzare la proprietà del quadrilatero ciclico per ottenere $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ Questo può essere ulteriormente semplificato ma non aiuta.
Ho anche provato a usare il teorema del coni ma non è stato utile. La risposta data è in cui si trova alfa$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
Risposte
Ecco un modo alternativo per eseguire il rendering $|z|=1$ - per induzione matematica, di tutte le cose.
Supporre che $z,z^2,z^3,z^4$ giacciono su un cerchio per diverso da zero $z$. Quindi moltiplicando tutti gli elementi per$z$ lo deduciamo $z^2,z^3,z^4,z^5$ giacciono anche su un cerchio, che deve essere uguale al primo cerchio a causa dei tre punti sovrapposti $z^2,z^3,z^4$. Allo stesso modo$z^6,z^7,...$ giacciono sullo stesso cerchio.
Adesso vai dall'altra parte. Dato$z,z^2,z^3,z^4$ su un cerchio dividere per $z$, poi $1,z,z^2,z^3$giacciono anche su un cerchio che è di nuovo uguale a quello iniziale. Ripetendo questo processo troviamo$z^{-1},z^{-2},...$ anche mentire su questo cerchio.
Quindi lo stesso cerchio contiene tutti i punti con la forma $z^n$ per tutti i numeri interi $n$, positivo, negativo e zero. Ma il cerchio deve essere delimitato e l'insieme dei poteri appena identificati è limitato solo per$|z|=1$.
Dato $|z|=1$, come l'argomento è limitato è una questione di definizione. Se abbiamo bisogno dei punti$z,z^2,z^3,z^4$ per essere in ordine rotazionale nel quadrilatero, allora dobbiamo avere uno dei due casi:
Se l'ordine è in senso antiorario, allora $0<\alpha<2\pi/3$ perché per preservare l'ordine di rotazione dobbiamo avere $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$.
Se l'ordine è in senso orario, allora le potenze inverse $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ sono in senso antiorario e ora richiediamo $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$. Questo dà il secondo set$4\pi/3<\alpha<2\pi$ se gli argomenti sono presi per essere in $[0,2\pi)$.
Ma, probabilmente, i punti giacciono ancora sul cerchio anche se non sono in questo ordine di rotazione, quindi il quadrilatero ciclico esiste a meno che non sia degenerato da coppie di vertici che coincidono. Una tale coincidenza si verifica solo se$n\alpha$ è multiplo di $2\pi$ per $n\in\{1,2,3\}$. Quindi da questo punto di vista$\alpha$ può essere qualsiasi cosa in $[0,2\pi]$ tranne $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$.
Da Tolomeo otteniamo: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ o $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ Ora possiamo usare una disuguaglianza triangolare.
Id est, per $|z|=r$ otteniamo: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ che dà $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ o $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ e da allora $\sin\alpha\neq0$, otteniamo $r=1$.
Come nella soluzione di Michael, usa Tolomeo per ottenere $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$.
Fare riferimento alla foto, è ovvio che $|z^{2}|=1$ e di conseguenza $|z|=1$. Per$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$l'equazione è valida. Suggerimento: a quale angolo$\alpha$ fa la direzione di $z^{2}+z+1$ diventare l'opposto di $z$?
Per la questione del modulo, usiamo l'equivalenza classica (vedi qui ):
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
Nel nostro caso, (1) diventa:
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
Tenendo conto delle diverse semplificazioni derivanti in particolare da $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) è equivalente a:
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
altrimenti detto, con $z=re^{i\theta}$,
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
come $\theta \ne k \pi$ (tali valori darebbero quadrilateri degenerati), abbiamo necessariamente $r-\tfrac1r=0$, dando $r=1$.
Per la questione dell'angolo, supponiamo che$z=re^{i \theta}$ con $0<\theta<\pi$ senza perdita di generalità (dipende da una simmetria rispetto al $x$-asse). Equivale a fare un ragionamento$1,z,z^2,z^3$ che sono punti ottenuti da $z,z^2,z^3,z^4$ da a $-\theta$rotazione. È geometricamente chiaro che una condizione necessaria è quella$z^3$ ha un argomento minore di $2 \pi$ (altrimenti, l'ordine dei punti $1$ e $z^3$non sarebbe rispettato). Questa condizione$arg(z^3)<2 \pi$ dà
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
Inoltre, questa condizione è infatti sufficiente: tutti $\alpha$La verifica (3) fornisce una soluzione adeguata.