Condizioni per gli aggiunti per preservare i monos?
Data una coppia aggiunta $L \dashv R$ e un mono $f \in \text{Hom}(X, RY)$, quali sono alcune condizioni che garantiranno $\tilde{f} \in \text{Hom}(LX, Y)$è ancora un mono? Ovviamente questo diventa facile se restringiamo la nostra attenzione alle sottocategorie che sono equivalenti dall'aggiunta, ma voglio una condizione più generale. Sembra qualcosa a cui le persone avrebbero pensato, ma non riesco a trovare alcun riferimento per questo.
Da $\tilde{f} = \epsilon_Y \circ Lf$ (dove $\epsilon$ è il conito dell'aggiunzione), basterebbe dimostrarlo $Lf$ e $\epsilon_Y$sono entrambi monos. Tuttavia, questa condizione è sia restrittiva che difficile da soddisfare. Come$L$è un aggiunto a sinistra, non c'è motivo per cui suoni bene con i monos (a meno che quel mono non sia diviso, ecc.). Allo stesso modo,$\epsilon_Y$ tende ad essere un epi, non un mono.
Una cosa che mi viene in mente è $\epsilon_Y$non tutti devono essere mono. Basta avere$\epsilon_Y \upharpoonright \text{im}(Lf)$un mono (a condizione che la tua categoria sia abbastanza ricca da dare un senso). Detto questo, non sono sicuro che possiamo fare di meglio. Sto cercando quanti più modi possibili, perché non sono sicuro di quale (se presente) sarà utile per il problema che ha dato origine a questa domanda.
Grazie in anticipo!
Risposte
Per una coppia aggiunta generale $L\dashv R$, dato un monic $f:X\to RY$, sua aggiunta $\tilde f=\epsilon_Y\circ Lf$ essere monic richiede $Lf$ essere anche monico (anzi, in generale se $p\circ q$ è monic, quindi $q$deve essere monico). A questo punto, controllandolo$\epsilon_Y\circ Lf$ è mono è probabilmente fatto più facilmente avendo $\epsilon_Y$ sii anche monico (altrimenti, sei altrettanto bravo a controllare le aggiunte del $f:X\to RY$ ti interessa caso per caso).
Infatti, supponi $L\dashv R$conserva tutti i monos nel senso che hai definito, quindi in particolare$\epsilon_Y:LRY\to Y$ dovrà essere monico perché è l'aggiunta dell'identità$\def\id{\operatorname{id}}\id_{RY}$, che è monic. (Più in generale, una volta uno dei file$f:X\to RY$ a cui tieni diventa un isomorfismo, sei costretto a prenderlo $\epsilon_Y$ monic.) Combinando questi, troviamo quello
$L\dashv R$conserva monos nel senso che definisci se e solo se i conits sono monic e$L$ conserva monos.
quindi in un certo senso non puoi davvero fare di meglio, se non per trovare condizioni sufficienti per $L$ per preservare monos e per i counits essere monic.
Ad esempio, la proposizione 2.4 qui ci dice che i coniti sono monici divisi se e solo se$R$è pieno, che è una condizione relativamente facile da controllare. Quanto a$L$ preservando i monos, una condizione sufficiente forte sarebbe quella $L$ preserva i limiti (ad esempio, se $L$è anche un diritto aggiunto) quindi hai ad esempio la seguente condizione sufficiente :
$L\dashv R$ conserva i monos nel senso che definisci ogni volta che fa parte di una tripla aggiunta $F\dashv L\dashv R$ e $R$ è pieno.
Ad esempio, dì $L:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ è il funtore smemorato, quindi ha un aggiunto sinistro e uno destro e un aggiunto destro $R:\mathbf{Set}\to\mathbf{Top}$conferisce agli insiemi la topologia codiscreta. L'aggiunto giusto è anche completamente fedele semplicemente perché le mappe degli insiemi sono automaticamente continue come mappe tra spazi codificati. (Tuttavia, in questo caso è già facile verificarlo$L$ conserva monics, e $\epsilon_Y:LRY\to Y$ è solo l'identità sul set $Y$ senza molto sforzo.)