Confusione sul lemma di Yoneda

Aug 18 2020

Permettere $C$ essere una categoria e $F$ un presheaf $C$. Il lemma di Yoneda afferma che le trasformazioni naturali$C(-, A)\Rightarrow F$ sono in corrispondenza uno a uno con gli elementi di $F(A)$.

Per me, questa affermazione sembra immotivata. Lo so se consideriamo il caso speciale$F=C(-, B)$, quindi (dal lemma di Yoneda) $C(-, -)$ produce un incorporamento (cioè un funtore pieno e fedele) di $C$ nella categoria dei presheaves $C$. Questo sembra abbastanza motivato, sin dall'incorporamento$C$ nella categoria dei presheaves $C$ sembra un po 'come incorporare un campo $k$ nella sua chiusura algebrica $\bar{k}$. Inoltre, anche la categoria dei presfogli sembra più concreta della categoria astratta$C$.

Ma perché uno è interessato all'affermazione generale dove $F$può essere qualsiasi presheaf qualunque. Perché questa è un'affermazione naturale? Come nasce l'idea di considerare il lemma di Yoneda come detto sopra?

Ho ancora un'altra domanda sul lemma di Yoneda. Come ho detto, si ha un'incorporazione di$C$ in $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (la categoria dei presheaves su $C$). Considerando i funtori covarianti$C\to\mathbf{Sets}$ invece di presheaves, si può anche provare una versione covariante del lemma di Yoneda, che afferma che le trasformazioni naturali $C(A, -)\Rightarrow F$ (per $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ qualsiasi funtore) sono in corrispondenza uno-a-uno con gli elementi di $F(A)$. Da questo si ottiene un'incorporazione di$C$ in $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.

Quindi, per riassumere, si può incorporare $C$ in entrambi $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ e $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. Domanda: come si fa$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ e $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ si relazionano tra loro?

Quello che trovo un po 'strano nella situazione: all'inizio, mi aspettavo $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ e $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$essere equivalente. Ma un fatto generale è questo$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ così $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ che non è $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.

Risposte

3 jgon Aug 18 2020 at 01:09

Ecco una possibile risposta a questa domanda.

Prendiamo il punto di vista che i funtori sono rappresentazioni di categorie.

Primo, perché è sensato?

Bene, ricorda che le categorie sono generalizzazioni di monoidi (e di conseguenza anche gruppi), poiché una categoria di un oggetto è la stessa cosa di un monoide. Se$M$ è un monoide, quindi possiamo definire una categoria, $C$, con un oggetto, $*$, set home $C(*,*)=M$, e unità e composizione date dall'unità e dalla moltiplicazione in $M$. Al contrario, data una categoria di un oggetto$C$, $C(*,*)$ è un monoide con composizione come moltiplicazione e queste costruzioni sono inverse l'una all'altra.

D'ora in poi, se $M$ è un monoide, o $G$ è un gruppo, scriverò $BM$ o $BG$ per la corrispondente categoria di oggetti.

E i funtori? Bene, cosa sono i funtori$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?

Bene, dobbiamo scegliere uno spazio vettoriale $V$ inviare $*$ a, e dobbiamo scegliere un omomorfismo monoide $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. Da$G$ è un gruppo, questo è equivalente a un omomorfismo di gruppo $G\to \operatorname{GL}(V)$. In altre parole, funtori di$BG$ per $k\Vect$ sono esattamente le stesse delle rappresentazioni di gruppi lineari e puoi controllare che le trasformazioni naturali dei funtori corrispondano esattamente al $G$-Mappe lineari equivarianti.

Allo stesso modo, quando sostituiamo $k\Vect$ con $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, o $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, noi abbiamo $G$-moduli e $G$-set rispettivamente.

Nello specifico, sono rimasti tutti $G$-azioni, dal momento che un funtore $F:BG\to \Set$ deve preservare la composizione, quindi $F(gh)=F(g)F(h)$e definiamo $g\cdot x$ di $F(g)(x)$. Così$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.

Un funtore controvariante $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ dà un diritto $G$-azione, da ora $F(gh)=F(h)F(g)$, quindi se definiamo $x\cdot g = F(g)(x)$, Poi abbiamo $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$

Quindi dovremmo pensare ai funtori covarianti $[C,\Set]$ come a sinistra $C$-azioni in $\Set$e dovremmo pensare ai funtori controvarianti $[C^\op,\Set]$ come giusto $C$-azioni in $\Set$.

Yoneda Lemma nel contesto

Le preselezioni rappresentabili ora corrispondono a oggetti liberi in una singola variabile nel seguente senso.

Il lemma di Yoneda è che abbiamo un isomorfismo naturale $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$

In altre parole, $C(-,A)$ assomiglia molto alla sinistra aggiunta al funtore "smemorato" che invia un presheaf $F$ alla sua valutazione in $A$, $F(A)$, ma valutato sull'insieme singleton $*$.

In effetti, possiamo voltarci $C(-,A)$ in una piena sinistra aggiunta notando che $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ e $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.

Quindi un modo per affermare il lemma di Yoneda è questo $S\mapsto S\times C(-,A)$ viene lasciato aggiunto alla valutazione in $A$funtore (nel senso che le due affermazioni sono equivalenti tramite una breve dimostrazione). Per inciso, c'è anche un diritto aggiunto alla valutazione in$A$funtore, vedi qui per l'argomento.

Riportando questo a nozioni più familiari

La prima cosa da notare da questo punto di vista è che ora abbiamo nozioni di "libero su un oggetto" piuttosto che semplicemente "libero". Cioè, tendo a pensare$C(-,A)$ come il presheaf libero in una variabile su $A$ (questa non è una terminologia standard, proprio come la penso io).

Ora dovremmo stare attenti, un oggetto libero non è solo un oggetto, è un oggetto e una base . In questo caso, la nostra base (elemento che genera liberamente il presheaf) è l'elemento identità$1_A$.

Pensandola in questo modo, si spera che la prova del lemma di Yoneda dovrebbe essere più intuitiva. Dopo tutto, la prova del lemma di Yoneda è la seguente:

$C(-,A)$ è generato da $1_A$, da $f^*1_A=f$, per ogni $f\in C(B,A)$, quindi trasformazioni naturali $C(-,A)$ per $F$ sono determinati in modo univoco da dove vengono inviati $1_A$. (Analogo a dire$1_A$ campate $C(-,A)$). Inoltre, qualsiasi scelta$\alpha\in F(A)$ di dove inviare $1_A$ è valido, poiché possiamo definire una trasformazione naturale "estendendosi linearmente" $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (questo è analogo a dire $1_A$ è linearmente indipendente o costituisce una base).

La versione covariante del lemma di Yoneda è esattamente la stessa idea, tranne per il fatto che ora stiamo lavorando con rappresentazioni a sinistra della nostra categoria.

Esempi del lemma di Yoneda in contesti più familiari

Considera l'unica categoria di oggetti $BG$, quindi il lemma di Yoneda dice che la corretta rappresentazione regolare di $G$ è il diritto libero $G$-set in una variabile (con l'elemento base che è l'identità, $1_G$). (Quello gratuito in$n$-variables è l'unione disgiunta di $n$ copie della regolare rappresentazione.)

La dichiarazione di incorporamento ora è quella $G$ può essere incorporato in $\operatorname{Sym}(G)$ attraverso $g\mapsto -\cdot g$.

Funziona anche in contesti arricchiti. Un anello è precisamente una categoria di un oggetto arricchita in gruppi abeliani, e il lemma di Yoneda in questo contesto dice che la giusta azione di$R$ su se stesso (spesso indicato $R_R$) è il diritto libero $R$-modulo in una variabile, con la base come elemento unitario $1_R$. (Quello gratuito in$n$-variables è ora la somma diretta di $n$ copie di $R_R$)

La dichiarazione di incorporamento qui è quella $R$ può essere incorporato nell'anello dell'endomorfismo del suo gruppo abeliano sottostante tramite $r\mapsto (-\cdot r)$.